试题

如图，正方形ABCD中，点E为AB上一点，点F为CB延长线上一点，且BE=BF，CE的延长线交AF于N，CM⊥NB于M，求证：
（1）CN⊥AF；
（2）∠MNC=45゜；
（3）AN=

2

BM．

证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABF=∠ABC=90°，AB=BC，
在△ABF和△CBE中，

AB=CB ∠ABF=∠CBE BF=BE

，
∴△ABF≌△CBE（SAS），
∴∠F=∠CEB，
∵∠CEB+∠BCE=90°，
∴∠F+∠BCE=90°，
∴∠CNF=90°，
∴CN⊥AF；

（2）过点B作BG⊥CN于点G，BH⊥AF于点H，
则S_△CBE=

1

2

CE·BG，S_△ABF=

1

2

AF·BH，
∵△ABF≌△CBE，
∴AF=BE，S_△CBE=S_△ABF，
∴BG=BH，
∴点B在∠CNF的平分线上，
即NB平分∠CNF，
∵∠CNF=90°，
∴∠MNC=45°；

（3）在CM上截取CK=BN，连接BK，
∵∠CBA=90°，
∴∠CBM+∠ABN=90°，
∵CM⊥MN，
∴∠CBM+∠BCK=90°，
∴∠ABN=∠BCK，
在△ABN和△BCK中，

AB=CB ∠ABN=∠BCK BN=CK

，
∴△ABN≌△BCK（SAS），
∴AN=BK，CK=BN，
∵∠MNC=45°，CM⊥MN，
∴△CMN是等腰直角三角形，
∴CM=MN，
∴BM=KM，
在Rt△BKM中，BK²=BM²+KM²=2BM²，
∴BK=

2

BM，
∴AN=

2

BM．
证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABF=∠ABC=90°，AB=BC，
在△ABF和△CBE中，

AB=CB ∠ABF=∠CBE BF=BE

，
∴△ABF≌△CBE（SAS），
∴∠F=∠CEB，
∵∠CEB+∠BCE=90°，
∴∠F+∠BCE=90°，
∴∠CNF=90°，
∴CN⊥AF；

（2）过点B作BG⊥CN于点G，BH⊥AF于点H，
则S_△CBE=

1

2

CE·BG，S_△ABF=

1

2

AF·BH，
∵△ABF≌△CBE，
∴AF=BE，S_△CBE=S_△ABF，
∴BG=BH，
∴点B在∠CNF的平分线上，
即NB平分∠CNF，
∵∠CNF=90°，
∴∠MNC=45°；

（3）在CM上截取CK=BN，连接BK，
∵∠CBA=90°，
∴∠CBM+∠ABN=90°，
∵CM⊥MN，
∴∠CBM+∠BCK=90°，
∴∠ABN=∠BCK，
在△ABN和△BCK中，

AB=CB ∠ABN=∠BCK BN=CK

，
∴△ABN≌△BCK（SAS），
∴AN=BK，CK=BN，
∵∠MNC=45°，CM⊥MN，
∴△CMN是等腰直角三角形，
∴CM=MN，
∴BM=KM，
在Rt△BKM中，BK²=BM²+KM²=2BM²，
∴BK=

2

BM，
∴AN=

2

BM．