试题

题目：
青果学院如图，在△ABC中，∠BAC=90°，D为AC中点，AE⊥BD，E为垂足，求证：∠CBD=∠ECD．
答案
证明：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AE⊥BD，
∴∠AED=∠BAD=90°，
∵∠ADE=∠BDA，
∴△ADE∽△BDA，
∴AD：BD=DE：AD，
∵D为AC中点，
∴AD=CD，
∴CD：BD=DE：CD，
∵∠CDE=∠BDC，
∴△CDE∽△BDC，
∴∠CBD=∠ECD．
证明：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AE⊥BD，
∴∠AED=∠BAD=90°，
∵∠ADE=∠BDA，
∴△ADE∽△BDA，
∴AD：BD=DE：AD，
∵D为AC中点，
∴AD=CD，
∴CD：BD=DE：CD，
∵∠CDE=∠BDC，
∴△CDE∽△BDC，
∴∠CBD=∠ECD．
考点梳理
相似三角形的判定与性质．
由在△ABC中，∠BAC=90°，AE⊥BD，易证得△ADE∽△BDA，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AD：BD=DE：AD，又由D为AC中点，∠CDE=∠BDC，易证得△CDE∽△BDC，即可证得∠CBD=∠ECD．
此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
证明题．
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