试题

题目：
青果学院如图，设P是等边△ABC的一边BC上的任意一点，连接AP，它的垂直平分线交AB、AC于M、N两点，求证：BP·PC=BM·CN．
答案
青果学院证明：连接PM，PN，
∵MN垂直平分AP，
∴AM=MP，AN=PN，又MN为公共边，
∴△AMN≌△PMN（SSS），
∴∠MPN=∠BAC=60°，
∵∠BPM+∠CPN=120°，∠BPM+∠BMP=120°，
∴∠BMP=∠CPN，
由∠B=∠C=60°，
∴△MPB∽△PNC，
∴
BP
NC
=
BM
PC
，
即BP·PC=BM·NC．
青果学院证明：连接PM，PN，
∵MN垂直平分AP，
∴AM=MP，AN=PN，又MN为公共边，
∴△AMN≌△PMN（SSS），
∴∠MPN=∠BAC=60°，
∵∠BPM+∠CPN=120°，∠BPM+∠BMP=120°，
∴∠BMP=∠CPN，
由∠B=∠C=60°，
∴△MPB∽△PNC，
∴
BP
NC
=
BM
PC
，
即BP·PC=BM·NC．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
连接PM，PN，证明△AMN≌△PMN，再证△MPB∽△PNC，即可得出结论．
本题主要考查了相似三角形的判定及性质以及等边三角形的性质等问题，能够熟练掌握．
证明题．
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