试题

已知，点O为矩形BHCM的对称中心，将一直角的顶点放在点O处，绕点O旋转，直角两边分别交直线BH、HC于E、D两点．
（1）如图1，当BH=

3

CH时，探究OE与OD的数量关系，并证明；
（2）如图2，当BH=nCH时，直接写出OE：OD=．

解：（1）OE与OD的数量关系为OD=

3

OE．理由如下：
作ON⊥CH于N，OF⊥BH于H，如图1，
∵点O为矩形BHCM的对称中心，
∴OF=

1

2

CH，ON=

1

2

BH，
而BH=

3

CH，
∴ON=

3

OF，
∵∠DOE=90°，即∠DON+∠NOE=90°，
而∠NOF=90°，即∠NOE+∠EOF=90°，
∴∠DON=∠EOF，
∴Rt△EOF∽Rt△DON，
∴OE：OD=OF：ON=1：

3

，
∴OD=

3

OE；

（2）作ON⊥CH于N，OF⊥BH于H，如图2，
∵BH=nCH，
∴ON=nOF，
同理可证Rt△EOF∽Rt△DON，
∴OE：OD=OF：ON=1：n．
故答案为1：n．