试题

如图，在直径为AB的半圆内，画出一个三角形区域，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆周上，其它两边分别为6和8，现要建造一个内接于△ABC的矩形建筑物DEFN，其中DE在AB上，设计方案是使AC=8，BC=6．
（1）求△ABC中AB边上的高h；
（2）设DN=x，当x取何值时，建筑物DEFN所占区域的面积最大？
（3）实际施工时，发现在AB边上距B点1.85的K处有一处文物，问：这处文物是否位于最大建筑物的边上？如果在，为保护文物，请设计出你的方案，使满足条件的内接三角形中欲建的最大矩形建筑物能避开文物．

解：（1）过C作CM⊥AB于M，则CM=h，
在Rt△ABC中，AB=

AC2+BC2

=

82+62

=10，
根据三角形面积公式得：S_△ACB=

1

2

AC×BC=

1

2

AB×h，
∴h=

AC·BC

AB

=

8×6

10

=4.8

（2）∵如图，NF∥AB，
∴△CNF∽△CAB
∴

h-DN

h

=

NF

AB

∴NF=

10(4.8-x)

4.8

∴S矩形DEFN=NF·x=-

25

12

(x2-4.8x)=-

25

12

（x-2.4）²+12，
则当x=2.4时，S_矩形DEFN最大；

（3）当S_矩形DEFN最大，x=2.4，
过点C作CM⊥AB于点M，
∵△ABC是直角三角形，AC=8，BC=6，
∴AB=10，
∴CM=

8×6

10

=4.8，
∵EF=

1

2

CM=2.4，
∴F为BC中点，
BF=

1

2

BC=3，
在Rt△FEB中，EF=2.4，BF=3
∴EB=

BF2-EF2

=

32-2.42

=1.8
∵BK=1.85
∴BK＞EB
故文物必位于欲修建的建筑物边上，应重新设计方案
∵x=2.4时，NF=5
∴AD=3.2
由圆的对称性知：满足题设条件的设计方案是：
将最大面积的建筑物建在使AC=6，BC=8，且C点在半圆周上的△ABC中．
答：（1）△ABC中AB边上的高h为4.8；（2）当x=2.4时，S_矩形DEFN最大；（3）文物必位于欲修建的建筑物边上，应重新设计方案，新设计方案是将最大面积的建筑物建在使AC=6，BC=8，且C点在半圆周上的△ABC中．
解：（1）过C作CM⊥AB于M，则CM=h，
在Rt△ABC中，AB=

AC2+BC2

=

82+62

=10，
根据三角形面积公式得：S_△ACB=

1

2

AC×BC=

1

2

AB×h，
∴h=

AC·BC

AB

=

8×6

10

=4.8

（2）∵如图，NF∥AB，
∴△CNF∽△CAB
∴

h-DN

h

=

NF

AB

∴NF=

10(4.8-x)

4.8

∴S矩形DEFN=NF·x=-

25

12

(x2-4.8x)=-

25

12

（x-2.4）²+12，
则当x=2.4时，S_矩形DEFN最大；

（3）当S_矩形DEFN最大，x=2.4，
过点C作CM⊥AB于点M，
∵△ABC是直角三角形，AC=8，BC=6，
∴AB=10，
∴CM=

8×6

10

=4.8，
∵EF=

1

2

CM=2.4，
∴F为BC中点，
BF=

1

2

BC=3，
在Rt△FEB中，EF=2.4，BF=3
∴EB=

BF2-EF2

=

32-2.42

=1.8
∵BK=1.85
∴BK＞EB
故文物必位于欲修建的建筑物边上，应重新设计方案
∵x=2.4时，NF=5
∴AD=3.2
由圆的对称性知：满足题设条件的设计方案是：
将最大面积的建筑物建在使AC=6，BC=8，且C点在半圆周上的△ABC中．
答：（1）△ABC中AB边上的高h为4.8；（2）当x=2.4时，S_矩形DEFN最大；（3）文物必位于欲修建的建筑物边上，应重新设计方案，新设计方案是将最大面积的建筑物建在使AC=6，BC=8，且C点在半圆周上的△ABC中．