试题

如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，A是切点，B是⊙O上一点，且PA=PB，连接BO并延长与切线PA相交于点Q．求证：
（1）PB是⊙O的切线；
（2）AQ·PQ=OQ·BQ．

证明：（1）连结OA、OP，如图，
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°，
在△PAO和△PBO中，

PA=PB PO=PO OA=OB

，
∴△PAO≌△PBO（SSS），
∴∠OBP=∠OAP=90°，
∴OB⊥PB，
∴PB是⊙O的切线；

（2）∵∠OBP=∠OAP=90°，
而∠AQO=∠BQP，
∴Rt△PBQ∽Rt△OAQ，
∴PQ：OQ=BQ：AQ，
∴AQ·PQ=OQ·BQ．
证明：（1）连结OA、OP，如图，
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°，
在△PAO和△PBO中，

PA=PB PO=PO OA=OB

，
∴△PAO≌△PBO（SSS），
∴∠OBP=∠OAP=90°，
∴OB⊥PB，
∴PB是⊙O的切线；

（2）∵∠OBP=∠OAP=90°，
而∠AQO=∠BQP，
∴Rt△PBQ∽Rt△OAQ，
∴PQ：OQ=BQ：AQ，
∴AQ·PQ=OQ·BQ．