试题

如图，在△ABC中，D为BC边上一点，过点D作AC、AB的平行线分别交AB、AC于F、E．
（1）若△BFD的面积为4，△DEC的面积为9，求△ABC的面积．
（2）设△BDF与△DEC的面积分别为S₁，S₂，平行四边形AFDE的面积为S₃，求证：S₁+S₂≥S₃，并指出点D位于BC的何处时S₁+S₂=S₃成立？

（1）解：∵DF∥AC，DE∥AB，
∴∠B=∠CDE，∠BFD=∠A，
∴△BDF∽△DCE，
∴S_△BDF：S_△DCE=BD²：DC²=4：9，
∴BD：DC=2：3，
∴BD：BC=2：5，
又∵DF∥AC，
∴△BFD∽△BAC，
∴S_△BFD：S_△BAC=BD²：BC²=4：25，
∴S_△ABC=25．

（2）证明：设BD=a，DC=b，
∵△BFD∽△BAC，
∴

S1

S1+ S2+S3

=

a2

(a+b) 2

①，
∵△CED∽△CAB，
∴

S2

S1+S2+S3

=

b2

(a+b) 2

②，
①+②得，

S1+ S2

S1+S2+S3

=

a2+b2

(a+b) 2

，
∴

S1+S2

S3

=

a2+b2

2ab

，
由（a-b）²≥0，即a²+b²≥2ab，
∴S₁+S₂≥S₃，
当a²+b²=2ab，即（a-b）²=0，S₁+S₂=S₃成立．
∴a=b，即点D是BC的中点．
（1）解：∵DF∥AC，DE∥AB，
∴∠B=∠CDE，∠BFD=∠A，
∴△BDF∽△DCE，
∴S_△BDF：S_△DCE=BD²：DC²=4：9，
∴BD：DC=2：3，
∴BD：BC=2：5，
又∵DF∥AC，
∴△BFD∽△BAC，
∴S_△BFD：S_△BAC=BD²：BC²=4：25，
∴S_△ABC=25．

（2）证明：设BD=a，DC=b，
∵△BFD∽△BAC，
∴

S1

S1+ S2+S3

=

a2

(a+b) 2

①，
∵△CED∽△CAB，
∴

S2

S1+S2+S3

=

b2

(a+b) 2

②，
①+②得，

S1+ S2

S1+S2+S3

=

a2+b2

(a+b) 2

，
∴

S1+S2

S3

=

a2+b2

2ab

，
由（a-b）²≥0，即a²+b²≥2ab，
∴S₁+S₂≥S₃，
当a²+b²=2ab，即（a-b）²=0，S₁+S₂=S₃成立．
∴a=b，即点D是BC的中点．