试题

题目:
在△ABC中,AB=15,AC=13,BC边上的高AD=12,能完全覆盖△ABC的圆的半径R的最小值为
7.5或
65
8
7.5或
65
8

答案
7.5或
65
8

青果学院解:分两种情况:
①如果△ABC是锐角三角形,那么能完全覆盖△ABC的最小圆必然是△ABC的外接圆,
连接BO,并延长交△ABC的外接圆O于点E,并连接AE,
则∠ACB=∠AEB,
∵∠BAE=∠ADC=90°,
∴△BAE∽△ADC,
BE
AC
=
AB
AD

即 BE=
AB
AD
·AC=
15
12
·13=
65
4

又∵BE是⊙O的直径,青果学院
∴BO=
1
2
BE=
65
8

②如果△ABC是钝角三角形,那么能完全覆盖△ABC的最小圆为最长边AB的一半,
故R=
15
2
=7.5.
故答案为:7.5或
65
8
考点梳理
三角形的外接圆与外心;相似三角形的判定与性质.
分两种情况:如果△ABC是锐角三角形或钝角三角形,那么能完全覆盖△ABC的最小圆必然是△ABC的外接圆.因而求外接圆的半径即可,为此,作过B点作△ABC的外接圆直径BE,连接AE.在△BAE与△ADC中,根据同弧所对的圆周角相等可知∠ACB=∠AEB,因而可证得△BAE∽△ADC.根据相似三角形的性质,求得直径BE的长,那么半径R即可知.
本题考查三角形的外接圆与外心、相似三角形的判定与性质,解决本题的关键是添加辅助线,构造相似三角形,根据对应边的比相等求得直径BE的长.
数形结合.
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