试题

题目：
在△ABC中，AB=AC，D是BC边长任意一点，点C1是C点关于直线AD的对称点，C1B与AD相交于P，试问：当点D在BC（BC中点除外）运动时，AD·AP的值有何变化？并证明你的结论．
答案
青果学院AD·AP的值为一定值．
证明：如图，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，
∵点C1是C点关于直线AD对称，
∴∠C1=∠C=∠ABC，∠C1AP=∠1，
∴A、C1、B、D四点共圆，
∴∠PBC=∠C1AP=∠1，
∴C、A、B、P四点共圆，
∴∠P=∠C=∠ABD，又∠BAP=∠DAB，
∴△ABD∽△APB，
∴
AD
AB
=
AB
AP
，
即AD·AP=AB2为一定值．
青果学院AD·AP的值为一定值．
证明：如图，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，
∵点C1是C点关于直线AD对称，
∴∠C1=∠C=∠ABC，∠C1AP=∠1，
∴A、C1、B、D四点共圆，
∴∠PBC=∠C1AP=∠1，
∴C、A、B、P四点共圆，
∴∠P=∠C=∠ABD，又∠BAP=∠DAB，
∴△ABD∽△APB，
∴
AD
AB
=
AB
AP
，
即AD·AP=AB2为一定值．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；四点共圆．
由AB=AC以及对称性可得角相等，得出A、C1、B、D四点共圆，进而又可得出C、A、B、P四点共圆，再由△ABD∽△APB得出对应线段成比例，进而可求解结论．
本题主要考查了有关圆的四点共圆问题以及相似三角形的判定及性质，能够掌握并熟练运用．
证明题．
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