试题

如图，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F是切点，FP⊥DE于P，求证：∠DBP=∠ECP．

证明：连接OF，OB，OC，OC交弧EF于G，连接DF，EF，
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴CE=CF，BD=BF，弧FG=

1

2

弧FE，
∴∠FDE=∠COF，而∠DPF=∠OFC，
∴△DPF∽△OFC，同理△EPF∽△OFB，
∴

PD

OF

=

PF

CF

，

PE

OF

=

PF

BF

，
∴OF·PF=PD·CF=PD·CE，
OF·PF=PE·BF=PE·BD，
∴PD·CE=PE·BD，
∴

PD

PE

=

BD

CE

，
而∠BDP=∠CEP，
∴△BDP∽△CEP，
∴∠DBP=∠ECP．
证明：连接OF，OB，OC，OC交弧EF于G，连接DF，EF，
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴CE=CF，BD=BF，弧FG=

1

2

弧FE，
∴∠FDE=∠COF，而∠DPF=∠OFC，
∴△DPF∽△OFC，同理△EPF∽△OFB，
∴

PD

OF

=

PF

CF

，

PE

OF

=

PF

BF

，
∴OF·PF=PD·CF=PD·CE，
OF·PF=PE·BF=PE·BD，
∴PD·CE=PE·BD，
∴

PD

PE

=

BD

CE

，
而∠BDP=∠CEP，
∴△BDP∽△CEP，
∴∠DBP=∠ECP．