试题

题目：
青果学院如图，AB是⊙O的直径，AB=d，过A作⊙O的切线并在其上取一点C，使AC=AB，连接OC叫⊙O于点D，BD的延长线交AC于E．
（1）求证：CD=AE；
（2）求AE的长．
答案
青果学院（1）证明：如图，连接AD，
∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，
∵∠ADO+∠ODB=90°，∠B+∠OAD=90°，
∴∠OAD+∠B=90°，∴∠CAD=∠B，
∴CAD=∠ODB=∠EDC，又∵∠C=∠C，
∴△CDE∽△CAD，
∴
CD
AC
=
DE
AD
①
又∵△ADE∽△BDA
∴
DE
AD
=
AE
AB
②
由①、②得
CD
AC
=
AE
AB

又∵AB=AC，可得AE=CD

（2）解：又由△CDE∽△CAD可得
CD
CA
=
CE
CD
，
即AE2=CD2=CE×CA
设AE=x，则CE=d-x，于是x2=d（d-x）
即有AE=x=
5
-1
2
d（负值已舍去）
青果学院（1）证明：如图，连接AD，
∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，
∵∠ADO+∠ODB=90°，∠B+∠OAD=90°，
∴∠OAD+∠B=90°，∴∠CAD=∠B，
∴CAD=∠ODB=∠EDC，又∵∠C=∠C，
∴△CDE∽△CAD，
∴
CD
AC
=
DE
AD
①
又∵△ADE∽△BDA
∴
DE
AD
=
AE
AB
②
由①、②得
CD
AC
=
AE
AB

又∵AB=AC，可得AE=CD

（2）解：又由△CDE∽△CAD可得
CD
CA
=
CE
CD
，
即AE2=CD2=CE×CA
设AE=x，则CE=d-x，于是x2=d（d-x）
即有AE=x=
5
-1
2
d（负值已舍去）
考点梳理
相似三角形的判定与性质；解一元二次方程-公式法；圆周角定理．
易证△CDE∽△CAD进而求证
CD
AC
=
AE
AB
，再根据AB=AC，可得AE=CD；
（2）由△CDE∽△CAD可得
CD
CA
=
CE
CD
，设AE=x，则CE=d-x，于是x2=d（d-x），解x的值即可解题．
本题考查了相似三角形的证明，考查了相似三角形对应边相等的性质，考查了一元二次方程的求解，本题中求△CDE∽△CAD是解题的关键．
计算题；证明题．
找相似题