试题

题目：
青果学院如图，在·ABCD中，EF∥AB，GH∥AD，O，M分别是GH，GD与EF，的交点，N是BE与GH的交点，OM=ON．求证：·ABCD是菱形．
答案
证明：∵GH∥AD，BC∥AD，
∴GH∥AD，△EON∽△EFB，
ON
FB
=
EO
EF
，
但EF=AB，FB=OG，∴
ON
OG
=
EO
AB
，ON·AB=EO·OG．①
同理，△GOM∽△GHD，
OM
HD
=
GO
GH
，
但HD=OE，GH=BC，∴
OM
OE
=
GO
BC
，OM·BC=EO·OG．②
由①，②得ON·AB=OM·BC．
又∵OM=ON，∴AB=BC，·ABCD是菱形．
证明：∵GH∥AD，BC∥AD，
∴GH∥AD，△EON∽△EFB，
ON
FB
=
EO
EF
，
但EF=AB，FB=OG，∴
ON
OG
=
EO
AB
，ON·AB=EO·OG．①
同理，△GOM∽△GHD，
OM
HD
=
GO
GH
，
但HD=OE，GH=BC，∴
OM
OE
=
GO
BC
，OM·BC=EO·OG．②
由①，②得ON·AB=OM·BC．
又∵OM=ON，∴AB=BC，·ABCD是菱形．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的判定．
易证，△EON∽△EFB，得
ON
FB
=
EO
EF
，可得ON·AB=EO·OG．同理，△GOM∽△GHD，
OM
HD
=
GO
GH
，可得OM·BC=EO·OG．即可求得AB=BC，即可判定四边形ABCD是菱形．
本题考查了相似三角形对应边比值相等的性质，考查了菱形的判定，考查了三角形相似的性质，本题中求证AB=BC是解题的关键．
证明题．
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