试题

题目：
青果学院如图，设AB为半圆直径，弦AC和BD交于点E，求证：AB2=AE·AC+BE·BD．
答案
青果学院证明：连接BC，AD，
根据直径所对的圆周角是直角，得∠C=∠D=90°，
根据相交弦定理，得AE·CE=DE·EB
∴AE·AC+BE·BD=AC2-AC·CE+BD2-BD·DE
=AB2-BC2+AB2-AD2-AC·CE-BD·DE
=2AB2-BE2+CE2-AE2+DE2-AC·CE-BD·DE
=2AB2-AE·AC-BE·BD，
∴AE·AC+BE·BD=AB2．
青果学院证明：连接BC，AD，
根据直径所对的圆周角是直角，得∠C=∠D=90°，
根据相交弦定理，得AE·CE=DE·EB
∴AE·AC+BE·BD=AC2-AC·CE+BD2-BD·DE
=AB2-BC2+AB2-AD2-AC·CE-BD·DE
=2AB2-BE2+CE2-AE2+DE2-AC·CE-BD·DE
=2AB2-AE·AC-BE·BD，
∴AE·AC+BE·BD=AB2．
考点梳理
圆周角定理；相似三角形的判定与性质．
连接AD、BC构造出两个直角，再利用相交弦定理和勾股定理列式后，进行整式变形即可求解．
本题考查了圆周角定理及相似三角形的判定与性质，此题要熟练运用相交弦定理、勾股定理以及整式的变形整理．
证明题．
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