试题

如图，正方形ABCD中，E是CD的中点，AE的垂直平分线FM交AB的延长线于F，交BC于P，连接EF，交BC于G，求EP：PC的值．

解：设正方形ABCD的边长是2x，则AD=AB=CD=BC=2x，
∵E是CD的中点，
∴DE=CE=x，
∵正方形ABCD，
∴∠D=∠ABC=90°，
由勾股定理得：AE=

AD2+DE2

=

5

x，
∵AB∥CD，
∴∠FAE=∠DEA，
∵AE的垂直平分线FM，
∴AM=ME=

1

2

AE=

5

2

x，∠AMF=∠D=90°，
∴△FMA∽△ADE，
∴

AF

AE

=

AM

DE

，
∴AF=

5

2

x，
由勾股定理得：FM=

AF2-AM2

=

5

x，
∴BF=AF-AB=

1

2

x，
∵正方形ABCD，AE的垂直平分线FM，
∴∠FBP=∠FMA=90°，
∵∠PFB=∠AFM，
∴△PFB∽△AFM，
∴

BP

AM

=

BF

FM

，
∴BP=

1

4

x，
∴CP=2x-

1

4

x=

7

4

x，
由勾股定理得：EP=

CP2+CE2

=

65

4

x，
∴EP：PC的值是

65

7

．
答：EP：PC的值是

65

7

．
解：设正方形ABCD的边长是2x，则AD=AB=CD=BC=2x，
∵E是CD的中点，
∴DE=CE=x，
∵正方形ABCD，
∴∠D=∠ABC=90°，
由勾股定理得：AE=

AD2+DE2

=

5

x，
∵AB∥CD，
∴∠FAE=∠DEA，
∵AE的垂直平分线FM，
∴AM=ME=

1

2

AE=

5

2

x，∠AMF=∠D=90°，
∴△FMA∽△ADE，
∴

AF

AE

=

AM

DE

，
∴AF=

5

2

x，
由勾股定理得：FM=

AF2-AM2

=

5

x，
∴BF=AF-AB=

1

2

x，
∵正方形ABCD，AE的垂直平分线FM，
∴∠FBP=∠FMA=90°，
∵∠PFB=∠AFM，
∴△PFB∽△AFM，
∴

BP

AM

=

BF

FM

，
∴BP=

1

4

x，
∴CP=2x-

1

4

x=

7

4

x，
由勾股定理得：EP=

CP2+CE2

=

65

4

x，
∴EP：PC的值是

65

7

．
答：EP：PC的值是

65

7

．