试题

如图，△ABC的内切圆I分别切BC、AC于点M、N，点E、F分别为边AB、AC的中点，D是直线EF与BI的交点．证明：M、N、D三点共线．

证明：连接AD，IA，IC，IM，IN，连结MD交AC于G，连结IG，如图，
∵点E、F分别为边AB、AC的中点，
∴EF∥BC，
∴∠2=∠3，
∵⊙I为△ABC的内切圆，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴EB=ED，
∴AE=BE=ED，
∴△ABD为直角三角形，
∴∠ADB=90°，
∵IM⊥BC，
而∠1=∠2，
∴Rt△BAD∽Rt△BIM，
∴

AB

BI

=

BD

BM

，
∴

AB

BD

=

BI

BM

，
∴△BAI∽△BDM，
∴∠AIB=∠DMB，
∵点I为△ABC的内心，
∴∠AIB=90°+

1

2

∠ACB，
∴∠DMB=90°+

1

2

∠ACB，
∵∠DMB=∠BMI+∠4=90°+∠4，
∴∠4=

1

2

∠ACB，
∵⊙I为△ABC的内切圆，
∴∠5=∠ICM=

1

2

∠ACB，
∴∠4=∠5，
∴I、M、C、G四点共圆，
∵∠IMC=90°，
∴∠IGC=90°，
∴IG⊥AC，
∴N点与G点重合，
∴M、N、D三点共线．
证明：连接AD，IA，IC，IM，IN，连结MD交AC于G，连结IG，如图，
∵点E、F分别为边AB、AC的中点，
∴EF∥BC，
∴∠2=∠3，
∵⊙I为△ABC的内切圆，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴EB=ED，
∴AE=BE=ED，
∴△ABD为直角三角形，
∴∠ADB=90°，
∵IM⊥BC，
而∠1=∠2，
∴Rt△BAD∽Rt△BIM，
∴

AB

BI

=

BD

BM

，
∴

AB

BD

=

BI

BM

，
∴△BAI∽△BDM，
∴∠AIB=∠DMB，
∵点I为△ABC的内心，
∴∠AIB=90°+

1

2

∠ACB，
∴∠DMB=90°+

1

2

∠ACB，
∵∠DMB=∠BMI+∠4=90°+∠4，
∴∠4=

1

2

∠ACB，
∵⊙I为△ABC的内切圆，
∴∠5=∠ICM=

1

2

∠ACB，
∴∠4=∠5，
∴I、M、C、G四点共圆，
∵∠IMC=90°，
∴∠IGC=90°，
∴IG⊥AC，
∴N点与G点重合，
∴M、N、D三点共线．