试题

如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC分别交BE、BN于点F、C，过顶C作品AM的垂线CD，垂足为D．若CD=CF，求

AE

AD

的值．

解：如图，设CF=m，AF=n，
∵AB⊥BC，BF⊥AC，
∴∠ABF+∠CBF=90°，∠ABF+∠BAF=90°，
∴∠CBF=∠BAF，又∠ABC=∠BFC=90°，
∴Rt△AFB∽Rt△ABC，
∴AB2=AF·AC，又FC=CD=AB=m，
∴m²=n（n+m），
即(

n

m

)2+

n

m

-1=0，
∴

n

m

=

5 -1

2

或

n

m

=

- 5 -1

2

（舍去），
又Rt△AFE∽Rt△CFB，

AE

AD

=

AE

BC

=

AF

FC

=

n

m

=

5 -1

2

，
即

AE

AD

=

5 -1

2

．
故答案为：

5 -1

2

．
解：如图，设CF=m，AF=n，
∵AB⊥BC，BF⊥AC，
∴∠ABF+∠CBF=90°，∠ABF+∠BAF=90°，
∴∠CBF=∠BAF，又∠ABC=∠BFC=90°，
∴Rt△AFB∽Rt△ABC，
∴AB2=AF·AC，又FC=CD=AB=m，
∴m²=n（n+m），
即(

n

m

)2+

n

m

-1=0，
∴

n

m

=

5 -1

2

或

n

m

=

- 5 -1

2

（舍去），
又Rt△AFE∽Rt△CFB，

AE

AD

=

AE

BC

=

AF

FC

=

n

m

=

5 -1

2

，
即

AE

AD

=

5 -1

2

．
故答案为：

5 -1

2

．