试题

在△ABC中，∠A=75°，∠B=35°，D是边BC上一点，BD=2CD．求证：AD²=（AC+BD）（AC-CD）．

证明：延长BC至E，使AC=CE，连接AE，
∵∠BAC=70°，
∴∠CEA=∠CAE=

1

2

∠ACB=35°=∠ABC，
∴△CAE∽△AEB，
∴AE²=AC·BE，
即AB²=AC（AC+BC）①，
设F是BD的中点，连接AF．
则CD=DF=FB．
在△ACF、△ADB中，由中线的性质分别得
AC²+AF²=2CD²+2AD²，②
AD²+AB²=2DF²+2AF²．③
由式②、③得2AC²+AB²=6CD²+3AD²．④
将式①代入式④得3AC²+AC·BC=6CD²+3AD²．
将BC=3CD代入上式得AC²+AC·CD=2CD²+AD²．
故AD²=AC²+AC·CD-2CD²=（AC+2CD）（AC-CD）=（AC+BD）（AC-CD）．
证明：延长BC至E，使AC=CE，连接AE，
∵∠BAC=70°，
∴∠CEA=∠CAE=

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∠ACB=35°=∠ABC，
∴△CAE∽△AEB，
∴AE²=AC·BE，
即AB²=AC（AC+BC）①，
设F是BD的中点，连接AF．
则CD=DF=FB．
在△ACF、△ADB中，由中线的性质分别得
AC²+AF²=2CD²+2AD²，②
AD²+AB²=2DF²+2AF²．③
由式②、③得2AC²+AB²=6CD²+3AD²．④
将式①代入式④得3AC²+AC·BC=6CD²+3AD²．
将BC=3CD代入上式得AC²+AC·CD=2CD²+AD²．
故AD²=AC²+AC·CD-2CD²=（AC+2CD）（AC-CD）=（AC+BD）（AC-CD）．