试题

如图，在锐角△ABC的BC边上有两点E、F，满足∠BAE=∠CAF，作FM⊥AB，FN⊥AC（M、N是垂足），延长AE交△ABC的外接圆于点D．
证明：四边形AMDN与△ABC的面积相等．

证明：如图：连接BD，
∵FM⊥AB于点M，FN⊥AC于点N，
∴A，M，F，N四点共圆，
∴∠AMN=∠AFN，
∴∠AMN+∠BAE=∠AFN+∠CAF=90°，
即MN⊥AD，
∴S_{四边形AMDN}=

1

2

AD·MN，
∵∠CAF=∠DAB，∠ACF=∠ADB，
∴△AFC∽△ABD，
∴AF：AB=AC：AD，
∴AB·AC=AD·AF，
∵AF是过A、M、F、N四点的圆的直径，
∴

MN

sin∠BAC

=AF，
∴AF·sin∠ABC=MN，
∴S_△ABC=

1

2

AB·AC·sin∠BAC=

1

2

AD·AF·sin∠BAC=

1

2

AD·MN=S_{四边形AMDN}．
∴S_△ABC=S_{四边形AMDN}．
证明：如图：连接BD，
∵FM⊥AB于点M，FN⊥AC于点N，
∴A，M，F，N四点共圆，
∴∠AMN=∠AFN，
∴∠AMN+∠BAE=∠AFN+∠CAF=90°，
即MN⊥AD，
∴S_{四边形AMDN}=

1

2

AD·MN，
∵∠CAF=∠DAB，∠ACF=∠ADB，
∴△AFC∽△ABD，
∴AF：AB=AC：AD，
∴AB·AC=AD·AF，
∵AF是过A、M、F、N四点的圆的直径，
∴

MN

sin∠BAC

=AF，
∴AF·sin∠ABC=MN，
∴S_△ABC=

1

2

AB·AC·sin∠BAC=

1

2

AD·AF·sin∠BAC=

1

2

AD·MN=S_{四边形AMDN}．
∴S_△ABC=S_{四边形AMDN}．