试题

（2010·越秀区二模）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，E为AB上一点，且DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，则下列结论中：①DE⊥EC，②AD·BC=BE·DE，③CE²=BC·CD，④AE²=AD·BC，⑤AD+BC=DC；正确的有（　　）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个

B
解：①∵DE平分∠ADC，CE平分∠BCD
∴∠ADE=∠CDE=

1

2

∠ADC，∠BCE=∠DCE=

1

2

∠BCD，
∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∴∠ADE+∠BCE=

1

2

（∠ADC+∠BCD）=

1

2

×180°=90°，
在△CDE中，∠CED=180°-（∠ADC+∠BCD）=90°
∴DE⊥EC；
故该项成立．
②假设AD·BC=BE·DE成立．
由①知，∠CED=90°
∴∠AED+∠BEC=180°-∠CED=180°-90°=90°，
在Rt△BCE中，∠BCE+∠BEC=90°，
∴∠AED=∠BCE
∵AD∥BC，∠B=90°，
∴∠A=90°，
∴△BCE∽△AED，
∴

AD

BE

= 

DE

CE

，即AD·CE=BE·DE，
∴BC=CE，
∵直角三角形的斜边＞它的直角边
∴AD·BC=BE·DE不成立．
故该项不成立．
③∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠ECD，
由①知，∠CED=90°=∠B，
∴△BCE∽△ECD，
∴

BC

CE

=

CE

CD

，即CE²=BC·CD，
故该项成立．
④由②知，△BCE∽△AED，
∴

AE

BC

=

AD

BE

，即AE·BE=AD·BC，
显然AE≠BE，
故该选项不成立．
⑤过E作EF⊥CD与点F，
∵DE平分∠ADC，CE平分∠BCD
∴∠ADE=∠CDE，∠BCE=∠DCE，
∴Rt△BCE≌Rt△FCE，Rt△AED≌Rt△FED，
∴BC=FC，AD=FD，
又∵CF+FD=BC，
∴AD+BC=DC，
故该选项正确．
综上所述，正确的有①③⑤三个．
故选B．