试题

题目：
青果学院（2012·江汉区模拟）已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，点F为边AB的中点，EF∥CD交BC于点E，则下列结论：
①AC=
2
EF；②BC-AC=2CE；③EF=
2
CE；④EF·AB=
2
AD·BE；
其中一定成立的是（　　）



答案
A
解：青果学院
过A作AM∥EF交BC延长线于M，
∵EF∥CD，
∴∠BEF=∠M=∠BCD，
∵∠ACB=90°，CD平分∠ACB，
∴∠BCD=45°，
∴∠M=∠BEF=45°，
∵∠ACM=90°，
∴∠CAM=∠M=45°，
∴MC=AC，
∵AM∥EF，F为AB中点，
∴E为BM中点，
∴AM=2EF，
由勾股定理得：AM=
2
AC，
∴2EF=
2
AC，
AC=
2
EF，∴①正确；
∵ME=BE，AC=CM，
∴BC-AC=2EM-MC=2EF，∴②正确；
如图，过F作FN⊥BC于N，
青果学院
∵∠BEF=45°，
∴∠NEF=∠NFE=45°，
∴EN=FN，
由勾股定理得：EF=
2
EN=
2
FN，根据已知不能推出CE=EN，∴③错误；
如图
青果学院
过D作DQ⊥AC于Q，
则∠AQD=∠CQD=∠ACB=90°，DQ∥BC，
∴△AQD∽△ACB，
∴
DQ
AD
=
BC
AB
，
∵∠CQD=90°，∠ACD=45°，
∴∠ACD=∠CDQ=45°，
∴CQ=DQ，由勾股定理得：DQ=
2
2
CD，
∴
2
2
CD
AD
=
BC
AB
，
∴
CD
2
AD
=
BC
AB
，
CD
BC
=
2
AD
AB
，
∵EF∥CD，
∴△BEF∽△BCD，
∴
EF
BE
=
CD
BC
，
∴
EF
BE
=
2
AD
AB
，
∴EF·AB=
2
AD·BE，∴④正确；
故选A．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形中位线定理．
过A作AM∥EF交BC延长线于M，求出AM=2EF，由勾股定理求出AM=
2
AC，得出2EF=
2
AC，即可判断①；根据ME=BE，AC=CM求出BC-AC=2EM-MC=2EF，即可判断②；过F作FN⊥BC于N，由勾股定理求出EF=
2
EN=
2
FN，即可判断③；过D作DQ⊥AC于Q，证△AQD∽△ACB，推出
DQ
AD
=
BC
AB
，推出
CD
2
AD
=
BC
AB
，得出
CD
BC
=
2
AD
AB
，证△BEF∽△BCD，推出
EF
BE
=
CD
BC
，即可判断④．
本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形，勾股定理的应用，注意：相似三角形的对应边的比相等，有两个角对应相等的两三角形相似．
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