试题

题目：
青果学院（2013·安阳一模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC交AC于点O，AE平分∠CAD交BD于点E，∠ABC=α，∠ACB=β，给出下列结论：①∠DAE=
1
2
β； ②
AD
CB
=
AO
CO
；③∠AEB=
1
2
（α+β）；④∠ACD=180°-（α+β）．其中一定正确的有（　　）



答案
B
解：①∵AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB=β，
∵AE平分∠CAD，
∴∠DAE=
1
2
∠CAD=
1
2
β；
故①正确；

②∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
∴
AD
CB
=
AO
CO
；
故②正确；

③∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=
1
2
∠ABC=
1
2
α，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC=
1
2
α，
∴∠AEB=∠ADB+∠DAE=
1
2
α+
1
2
β=
1
2
（α+β）；
故③正确；

④如果AB∥CD，那么∠ABC+∠ACB+∠ACD=180°，即∠ACD=180°-（α+β），
但是AB与CD不一定平行，
故④不一定正确．
故选B．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；平行线的性质．
①先由平行线的性质得出∠CAD=∠ACB=β，再根据角平分线的定义即可证明∠DAE=
1
2
∠CAD，从而判断①正确；
②先由AD∥BC，得出△AOD∽△COB，再根据相似三角形对应边成比例即可证明
AD
CB
=
AO
CO
，从而判断②正确；
③先由平行线的性质和角平分线的定义得出∠ADB=∠DBC=
1
2
α，再根据三角形外角的性质得出∠AEB=∠ADB+∠DAE，从而判断③正确；
④当AB∥CD时，根据平行线的性质有∠ABC+∠ACB+∠ACD=180°，即∠ACD=180°-（α+β），从而判断④不一定正确．
本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，相似三角形的判定与性质，难度不大．
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