如图，Rt△ABC中，BC=2sqrt{3}，∠ACB=90°，∠A=30°，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1，连结BE1交CD1于D2；过D2作D2E2⊥AC于...-青果题库-青果学院

题目：

（2013·连云港模拟）如图，Rt△ABC中，BC=2

3

，∠ACB=90°，∠A=30°，D₁是斜边AB的中点，过D₁作D₁E₁⊥AC于E₁，连结BE₁交CD₁于D₂；过D₂作D₂E₂⊥AC于E₂，连结BE₂交CD₁于D₃；过D₃作D₃E₃⊥AC于E₃，…，如此继续，可以依次得到点E₄、E₅、…、E₂₀₁₃，分别记△BCE₁、△BCE₂、△BCE₃、…、△BCE₂₀₁₃的面积为S₁、S₂、S₃、…、S₂₀₁₃．则S₂₀₁₃的大小为（　　）
A．

3

1006

3

B．

6

2013

3

C．

3

1007

3

D．

4

671

答案

C
解：∵Rt△ABC中，BC=2

3

，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴AC=

BC

tan30°

=

3

BC=6，
∴S_△ABC=

1

2

AC·BC=6

3

，
∵D₁E₁⊥AC，
∴D₁E₁∥BC，
∴△BD₁E₁与△CD₁E₁同底同高，面积相等，
∵D₁是斜边AB的中点，
∴D₁E₁=

1

2

BC，CE₁=

1

2

AC，
∴S₁=

1

2

BC·CE₁=

1

2

BC×

1

2

AC=

1

2

×

1

2

AC·BC=

1

2

S_△ABC；
∴在△ACB中，D₂为其重心，
∴D₂E₁=

1

3

BE₁，
∴D₂E₂=

1

3

BC，CE₂=

1

3

AC，S₂=

1

3

×

1

2

×AC·BC=

1

3

S_△ABC，
∴D₃E₃=

1

4

BC，CE₂=

1

4

AC，S₃=

1

4

S_△ABC…；
∴S_n=

1

n+1

S_△ABC；
∴S₂₀₁₃=

1

2013+1

×6

3

=

3

1007

3

．
故选C．

考点梳理

相似三角形的判定与性质．

试题