试题

题目:
青果学院(2013·启东市一模)如图,AB是半圆O直径,半径OC⊥AB,连接AC,∠CAB的平分线AD分别交OC于点E,交
BC
于点D,连接CD、OD,以下三个结论:①AC∥OD;②AC=2CD;③线段CD是CE与CO的比例中项,其中所有正确结论的序号是(  )



答案
B
青果学院解:∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∵AD为∠CAB的平分线,
∴∠CAD=∠OAD,
∴∠CAD=∠ODA,
∴AC∥OD,故选项①正确;
∵OC⊥AB,OA=OC,
∴△AOC为等腰直角三角形,
∴∠DOB=∠COD=∠BAC=45°,
∵∠ADC与∠AOC都对
AC

∴∠ADC=
1
2
∠AOC=45°,
∴∠ADC=∠COD,又∠OCD=∠DCE,
∴△DCE∽△OCD,
DC
OC
=
CE
CD
,即CD2=CE·OC,
故选项③正确;
AC
的中点F,可得
AF
=
CF

AC
=2
CD

AF
=
FC
=
CD

∴AF=FC=CD,即AF+FC=2CD,
∵AF+FC>AC,
则2CD>AC,故选项②错误,
则正确的选项有:①③.
故选B
考点梳理
圆周角定理;圆心角、弧、弦的关系;相似三角形的判定与性质.
由OA=OD,利用等边对等角得到一对角相等,再由AD为角平分线得到一对角相等,等量代换得到一对内错角相等,利用内错角相等两直线平行即可得到AC与OD平行,故选项①正确;由CO垂直于AB,OA=OC,得到三角形AOC为等腰直角三角形,得到∠CAB为45度,再由两直线平行同位角相等得到∠DOB为45度,即∠COD为45度,再由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得到∠ADC为45度,得到一对角相等,再由一对公共角,利用两对对应角相等的两三角形相似得到三角形CED与三角形OCD相似,由相似得比例可得出CD为CE与CO的比例中项,故选项③正确;取弧AC的中点F,得到弧AF与弧CF相等,再由弧AC=2弧CD,得到三条弧相等,利用等弧对等弦得到CF=AF=CD,即CF+AF=2CD,而CF+AF大于AC,可得出AC不等式2CD,故选项②错误.
此题考查了圆周角定理,圆心角、弧及弦之间的关系,以及相似三角形的判定与性质,熟练掌握圆周角定理是解本题的关键.
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