试题

题目：
已知△ABC中，BC＞AC，CH是AB边上的高，且满足
AC2
BC2
=
AH
BH
，试探讨∠A与∠B的关系，井加以证明．
答案
解：（1）若垂线H在线段AB上，如图，
青果学院
由AH2+CH2=AC2，BH2+CH2=BC2，得，
BH2-AH2=BC2-AC2，
即（BH+AH）（BH-AH）=BC2-AC2
AB=
BC2-AC2 
BH-AH
，由
AC2
BC2
=
AH
BH
，得
BC2-AC2
BC2
=
BH-AH
BH
，
即
BC2-AC2
BH-AH
=
BC2
BH
，所以AB=
BC2
BH
即
AB
BC
=
BC
BH
，
又∠B是△ABC和△CBH的公共角，所以△ABC∽△CHB，
∠ACB=∠CHB=90°，∠A+∠B=90°．
青果学院
（2）若垂足H在BA的延长线，如图作边CA关于CH的对称线段CA′，
由（1）的结论知：∠A′+∠B=90°，而∠A′=180°-∠A，
代入上式得∠A-∠B=90°．
综上所述（1）（2），知∠A+∠B=90°或∠A-∠B=90°．
解：（1）若垂线H在线段AB上，如图，
青果学院
由AH2+CH2=AC2，BH2+CH2=BC2，得，
BH2-AH2=BC2-AC2，
即（BH+AH）（BH-AH）=BC2-AC2
AB=
BC2-AC2 
BH-AH
，由
AC2
BC2
=
AH
BH
，得
BC2-AC2
BC2
=
BH-AH
BH
，
即
BC2-AC2
BH-AH
=
BC2
BH
，所以AB=
BC2
BH
即
AB
BC
=
BC
BH
，
又∠B是△ABC和△CBH的公共角，所以△ABC∽△CHB，
∠ACB=∠CHB=90°，∠A+∠B=90°．
青果学院
（2）若垂足H在BA的延长线，如图作边CA关于CH的对称线段CA′，
由（1）的结论知：∠A′+∠B=90°，而∠A′=180°-∠A，
代入上式得∠A-∠B=90°．
综上所述（1）（2），知∠A+∠B=90°或∠A-∠B=90°．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；三角形内角和定理；勾股定理．
由题设条件易想到直角三角形中的基本图形、基本结论，可猜想出∠A与∠B的关系，解题的关键是综合运用勾股定理、比例线段的性质，推导判定两个三角形相似的条件．
本题考查相似三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理，勾股定理等．
证明题．
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