试题

如图，在Rt△ABC中，AB是斜边，点P在中线CD上，AC=3cm，BC=4cm，设P、C的距离为xcm，△APB的面积为ycm²，求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围．

解：在Rt△ABC中，AB=

AC2+BC2

=

32+42

=5，
∵AD=BD，∴CD=

1

2

AB=

5

2

，
∵PC的长为x，∴PD=

5

2

-x，
过P点作PH⊥AB交AB于H，过C点作CM⊥AB交AB于M，
∵△ACB∽△AMC
∴

AB

AC

=

BC

CM

，∴CM=

AC·BC

AB

=

12

5

，
∵CM⊥AB，PH⊥AB，∴CM∥BH，
∴

PH

CM

=

PD

CD

，∴PH=

CM·PD

CD

=

12 5 ×( 5 2 -x)

5 2

=

12

5

-

24

25

x．
S_△APB=y=

1

2

AB·BH=

1

2

×5×（

12

5

-

24

25

x），
∴y=-

12

5

x+6，
∴0＜x＜

5

2

．
答：y与x的函数关系式是y=-

12

5

x+6，
自变量x的取值范围为0＜x＜

5

2

．
解：在Rt△ABC中，AB=

AC2+BC2

=

32+42

=5，
∵AD=BD，∴CD=

1

2

AB=

5

2

，
∵PC的长为x，∴PD=

5

2

-x，
过P点作PH⊥AB交AB于H，过C点作CM⊥AB交AB于M，
∵△ACB∽△AMC
∴

AB

AC

=

BC

CM

，∴CM=

AC·BC

AB

=

12

5

，
∵CM⊥AB，PH⊥AB，∴CM∥BH，
∴

PH

CM

=

PD

CD

，∴PH=

CM·PD

CD

=

12 5 ×( 5 2 -x)

5 2

=

12

5

-

24

25

x．
S_△APB=y=

1

2

AB·BH=

1

2

×5×（

12

5

-

24

25

x），
∴y=-

12

5

x+6，
∴0＜x＜

5

2

．
答：y与x的函数关系式是y=-

12

5

x+6，
自变量x的取值范围为0＜x＜

5

2

．