试题

如图所示．在△ABC中，AM是BC边上的中线，AE平分∠BAC，BD⊥AE的延长线于D，且交AM延长线于F．求证：EF∥AB．

证明：过B作BG∥AC交AE的延长线于G，交AM的延长线于H．
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE=∠CAE．
∵BG∥AC，
∴∠CAE=∠G，
∴∠BAE=∠G，
∴BA=BG．又BD⊥AG，
∴△ABG是等腰三角形，∠ABF=∠HBF，
∴F到AB与BH的距离相等，
∴S_△ABF：S_△HBF=AB：BH，
∵S_△ABF：S_△HBF=AF：FH，
∴AB：BH=AF：FH．
又M是BC边的中点，且BH∥AC，易知ABHC是平行四边形，从而BH=AC，
∴AB：AC=AF：FH．
∵AE是△ABC中∠BAC的平分线，
∴AB：AC=BE：EC，AF：FH=BE：EC，即
（AM+MF）：（AM-MF）=（BM+ME）：（BM-ME）
（这是因为ABHC是平行四边形，所以AM=MH及BM=MC）．
由合分比定理，上式变为AM：MB=FM：ME．
在△MEF与△MAB中，∠EMF=∠AMB，
∴△MEF∽△MAB
∴∠ABM=∠FEM，所以EF∥AB．
证明：过B作BG∥AC交AE的延长线于G，交AM的延长线于H．
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE=∠CAE．
∵BG∥AC，
∴∠CAE=∠G，
∴∠BAE=∠G，
∴BA=BG．又BD⊥AG，
∴△ABG是等腰三角形，∠ABF=∠HBF，
∴F到AB与BH的距离相等，
∴S_△ABF：S_△HBF=AB：BH，
∵S_△ABF：S_△HBF=AF：FH，
∴AB：BH=AF：FH．
又M是BC边的中点，且BH∥AC，易知ABHC是平行四边形，从而BH=AC，
∴AB：AC=AF：FH．
∵AE是△ABC中∠BAC的平分线，
∴AB：AC=BE：EC，AF：FH=BE：EC，即
（AM+MF）：（AM-MF）=（BM+ME）：（BM-ME）
（这是因为ABHC是平行四边形，所以AM=MH及BM=MC）．
由合分比定理，上式变为AM：MB=FM：ME．
在△MEF与△MAB中，∠EMF=∠AMB，
∴△MEF∽△MAB
∴∠ABM=∠FEM，所以EF∥AB．