试题

如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，M、N分别为AD、BC的中点，MN交AC、BD于E、F．
求证：BD·OE=AC·OF．

解：如图，取AB的中点G．
连接GM，GN，
因为M、N分别为AD，BC中点，
所以GM∥BD，GM=

1

2

BD，
GN∥AC，GN=

1

2

AC，
所以∠GMN=∠OFE，∠GNM=∠OEF，
所以△GMN∽△OFE，
所以GM：OF=GN：OE，
即

1

2

BD：OF=

1

2

AC：OE，
所以BD·OE=AC·OF．
解：如图，取AB的中点G．
连接GM，GN，
因为M、N分别为AD，BC中点，
所以GM∥BD，GM=

1

2

BD，
GN∥AC，GN=

1

2

AC，
所以∠GMN=∠OFE，∠GNM=∠OEF，
所以△GMN∽△OFE，
所以GM：OF=GN：OE，
即

1

2

BD：OF=

1

2

AC：OE，
所以BD·OE=AC·OF．