试题

题目：
青果学院在△ABC中，∠ACB=90°，CB=a，CA=b，AB=c点P是BC上异于B、C的任一点，过P作AB的垂线与边AB及AC的延长线分别交于R、Q．
（1）设PC=x，△PQC、△PBR的面积分别为S1、S2，试用x、a、b、c表示S1+S2；
（2）当点P在BC上移动时，问x取何值时，有S1+S2最小值？并求出这个最小值．
答案
解：（1）由题中条件可得Rt△BPR∽△BAC，∴
BP
AB
=
BR
BC
=
PR
AC
，即
a-x
c
=
BR
a
=
PR
b
，BR=
a(a-x)
c
，PR=
b(a-x)
c
，
同理Rt△QPC∽Rt△BAC，∴
QC
BC
=
PC
AC
，即
QC
a
=
x
b
，QC=
ax
b
，
∴S1+S2=
1
2
PC·QC+
1
2
BR·PR=
1
2
（x·
ax
b
+
ab(a-x)2
c
）

（2）S1+S2=
1
2
PC·QC+
1
2
BR·PR=
1
2
（x·
ax
b
+
ab(a-x)2
c
）=
acx2+ab2(a-x)2
2bc
，
若使S1+S2取最小值，则有（a-x）2=0，即x=a，即点P运动到点B时，其值最小，
S1+S2=
acx2
2bc
=
a3
2b
．
解：（1）由题中条件可得Rt△BPR∽△BAC，∴
BP
AB
=
BR
BC
=
PR
AC
，即
a-x
c
=
BR
a
=
PR
b
，BR=
a(a-x)
c
，PR=
b(a-x)
c
，
同理Rt△QPC∽Rt△BAC，∴
QC
BC
=
PC
AC
，即
QC
a
=
x
b
，QC=
ax
b
，
∴S1+S2=
1
2
PC·QC+
1
2
BR·PR=
1
2
（x·
ax
b
+
ab(a-x)2
c
）

（2）S1+S2=
1
2
PC·QC+
1
2
BR·PR=
1
2
（x·
ax
b
+
ab(a-x)2
c
）=
acx2+ab2(a-x)2
2bc
，
若使S1+S2取最小值，则有（a-x）2=0，即x=a，即点P运动到点B时，其值最小，
S1+S2=
acx2
2bc
=
a3
2b
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；三角形的面积．
（1）由题中条件可得Rt△BPR∽△BAC，Rt△QPC∽Rt△BAC由对应线段成比例可得线段BR、PR、QC的值，进而可求其面积；
（2）若使其面积之和最小，则只需（a-x）2=0，即x=a即可．
本题主要考查了相似三角形的判定及性质以及三角形面积的求解，能够在掌握的基础上熟练掌握．
应用题．
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