试题

题目：
青果学院如图所示．在△ABC内有一点P，满足∠APB=∠BPC=∠CPA．若2∠B=∠A+∠C，求证：PB2=PA·PC．
（提示：设法证明△PAB∽△PBC．）
答案
证明：∵∠APB=120°，
∴∠ABP+∠BAP=60°，
又∵∠ABC=60°，
∴∠ABP+∠CBP=60°，
∴∠CBP=∠BAP，
又∵∠APB=∠APC=120°，
∴△ABP∽△BCP，
∴
AP
PB
=
BP
PC
，
∴BP2=PA·PC．
证明：∵∠APB=120°，
∴∠ABP+∠BAP=60°，
又∵∠ABC=60°，
∴∠ABP+∠CBP=60°，
∴∠CBP=∠BAP，
又∵∠APB=∠APC=120°，
∴△ABP∽△BCP，
∴
AP
PB
=
BP
PC
，
∴BP2=PA·PC．
考点梳理
相似三角形的判定与性质．
用∠APB=∠APC=120°，∠CBP=∠BAP两个对应角相等证明△PAB∽△PBC，根据相似比可证到结论．
本题考查相似三角形的判定和性质定理，先用判定定理证明相似，然后根据相似对应边成比例证明结论．
证明题．
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