试题

题目：
青果学院如图，已知平行四边形ABCD，AB=a，BC=b（a＞b），P为AB边上的一动点，直线DP交CB的延长线于Q，求AP+BQ的最小值．
答案
解：设AP=x，则PB=a-x，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BQ，AD=BC=b，
∴△QBP∽△DAP，
∴
BQ
AD
=
BP
AP
，即
BQ
b
=
a-x
x
，
∴BQ=
ab-bx
x
=
ab
x
-b，
则AP+BQ=x+
ab
x
-b，
设AP+BQ=y，
∴y=x+
ab
x
-b，
整理得，x2-（b+y）x+ab=0，△=（b+y）2-4ab=（b-y）2≥0，
∵a，b，y都为正数，
∴b+y≥2
ab
，即y≥2
ab
-b，
所以AP+BQ的最小值为2
ab
-b．
解：设AP=x，则PB=a-x，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BQ，AD=BC=b，
∴△QBP∽△DAP，
∴
BQ
AD
=
BP
AP
，即
BQ
b
=
a-x
x
，
∴BQ=
ab-bx
x
=
ab
x
-b，
则AP+BQ=x+
ab
x
-b，
设AP+BQ=y，
∴y=x+
ab
x
-b，
整理得，x2-（b+y）x+ab=0，△=（b+y）2-4ab=（b-y）2≥0，
∵a，b，y都为正数，
∴b+y≥2
ab
，即y≥2
ab
-b，
所以AP+BQ的最小值为2
ab
-b．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
设AP=x，则PB=a-x，由四边形ABCD为平行四边形，得到AD∥BQ，AD=BC=b，则△QBP∽△DAP，所以
BQ
AD
=
BP
AP
，即
BQ
b
=
a-x
x
，得BQ=
ab-bx
x
，设AP+BQ=y，得到x2-（b+y）x+ab=0，△=（b+y）2-4ab≥0，有y≥2
ab
-b，即得到AP+BQ的最小值．
本题考查了三角形相似的判定与性质．也考查了平行四边形的性质以及一元二次方程根的判别式运用．
计算题．
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