试题

题目：
作一个辅助圆证明：△ABC中，若AD平分∠A，则
AB
AC
=
BD
DC
．
（提示：不妨设AB≥AC，作△ADC的外接圆交AB于E，证△ABC∽△DBE，从而
AB
AC
=
BD
DE
=
BD
DC
．）
答案
青果学院证明：如图，作△ADC的外接圆O，交AB于E，连接DE，
∵四边形ACDE为圆内接四边形，
∴∠BED=∠C，
又∠ABC=∠DBE，
∴△ABC∽△DBE，
∴
AB
AC
=
BD
DE
，
又∵∠EAD=∠CAD，
∴DE=DC，
∴
AB
AC
=
BD
DC
．
青果学院证明：如图，作△ADC的外接圆O，交AB于E，连接DE，
∵四边形ACDE为圆内接四边形，
∴∠BED=∠C，
又∠ABC=∠DBE，
∴△ABC∽△DBE，
∴
AB
AC
=
BD
DE
，
又∵∠EAD=∠CAD，
∴DE=DC，
∴
AB
AC
=
BD
DC
．
考点梳理
三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定与性质．
如图，作△ADC的外接圆O，交AB于E，连接DE，根据圆内接四边形的外角等于内对角的性质可知∠BED=∠C，可证△ABC∽△DBE，从而有
AB
AC
=
BD
DE
，再根据圆周角∠EAD=∠CAD可得DE=DC，可证结论．
本题考查了圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理的综合运用，解题时，需要灵活把握．
证明题．
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