试题

已知：如图，AB=BC=CA=AD，AH⊥CD于H，CP⊥BC，CP交AH于P．求证：△ABC的面积S=

3

4

AP·BD．

证明：记BD与AH交于点Q，则由AC=AD，AH⊥CD得∠ACQ=∠ADQ．
又AB=AD，故∠ADQ=∠ABQ．
从而∠ABQ=∠ACQ．可知A、B、C、Q四点共圆．
∵∠APC=90°+∠PCH=∠BCD，∠CBQ=∠CAQ，
∴△APC∽△BCD．
∴AC·BC=AP·BD．
于是，S=

3

4

AC·BC=

3

4

AP·BD．
证明：记BD与AH交于点Q，则由AC=AD，AH⊥CD得∠ACQ=∠ADQ．
又AB=AD，故∠ADQ=∠ABQ．
从而∠ABQ=∠ACQ．可知A、B、C、Q四点共圆．
∵∠APC=90°+∠PCH=∠BCD，∠CBQ=∠CAQ，
∴△APC∽△BCD．
∴AC·BC=AP·BD．
于是，S=

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AC·BC=

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AP·BD．