试题

题目：
（2002·武汉）已知Rt△ABC中，∠C=90°，O为斜边AB上的一点，以O为圆心的圆与边AC，BC分别相切于点E，F，若AC=1，BC=3，则⊙O的半径为（　　）



答案
C
青果学院解：如图，连接OE，OF，
设圆的半径为R，
∴OE=OF=R，
∵以O为圆心的圆与边AC，BC分别相切于点E，F，
∴四边形CEOF是正方形，
∴OF∥AC，
∴△OBF∽△ABC，
∴OF：AC=FB：BC，
∴BF=3R，
同理，AE=
1
3
R，
由勾股定理得，AO=
10
3
R，BO=
10
R，AB=
10
，
∵AO+BO=AB，
∴R=
3
4
．
故选C．
考点梳理
切线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．
如图，连接OE，OF，设圆的半径为R，OE=OF=R，根据已知条件可以推出则四边形AFOE是正方形，从而得到OF∥AC，可得△OBF∽△ABC，可得OF：AC=FB：BC，由此可以把BF用R表示，同理AE也可以用R表示，然后由勾股定理得，AO=
10
3
R，BO=
10
R，AB=
10
，由此即可求出R．
本题利用了切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理求解，有一定的难度．
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