试题

在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿着直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的P点．求证：MC：NC=AP：PB．

证明：连接PC，过点P作PD⊥AC于D，
∵BC⊥AC，
∴PD∥BC，
根据折叠可知：MN⊥CP，
∵∠1+∠PCN=90°，∠PCN+∠CNM=90°，
∴∠1=∠CNM，
∵∠CDP=∠NCM=90°，
∴△PDC∽△MCN，
∴MC：CN=PD：DC，
∵∠ADP=90°，∠A=45°，
∴△ADP为等腰直角三角形，
∴PD=DA，
∴MC：CN=DA：DC，
∵PD∥BC，
∴DA：DC=PA：PB，
∴MC：CN=PA：PB．
证明：连接PC，过点P作PD⊥AC于D，
∵BC⊥AC，
∴PD∥BC，
根据折叠可知：MN⊥CP，
∵∠1+∠PCN=90°，∠PCN+∠CNM=90°，
∴∠1=∠CNM，
∵∠CDP=∠NCM=90°，
∴△PDC∽△MCN，
∴MC：CN=PD：DC，
∵∠ADP=90°，∠A=45°，
∴△ADP为等腰直角三角形，
∴PD=DA，
∴MC：CN=DA：DC，
∵PD∥BC，
∴DA：DC=PA：PB，
∴MC：CN=PA：PB．