试题

已知△ABC的BC边上的高为12，BC=6，E在AB上运动，平行四边形DEFC的顶点分别在△ABC的三边上，设ED=x．
（1）阴影部分面积为y，求y与x的函数关系式；
（2）x取何值时，平行四边形DEFC的面积有最大值或最小值？其最值是多少？

解：（1）∵△ABC的BC边上的高为12，BC=6，
∴S_△ABC=

1

2

×6×12=36，
∵ED∥BC，
∴△AED∽△ABC，
设△AED边ED上的高为h，
∴

ED

BC

=

h

12

，即

x

6

=

h

12

，
∴h=2x，
∴平行四边形EDCF的高为12-2x，
∴S_{平行四边形EDCF}=x（12-2x）=-2x²+12x，
则y=36-（12x-2x²）=2x²-12x+36；
（2）∵y=2x²-12x+36，a=2＞0，
∴y有最小值，即平行四边形EDCF面积有最大值，
∴当x=-

b

2a

=3时，y有最小值

4ac-b2

4a

=18，
则此时S_{平行四边形EDCF}取得最大值36-18=18．
解：（1）∵△ABC的BC边上的高为12，BC=6，
∴S_△ABC=

1

2

×6×12=36，
∵ED∥BC，
∴△AED∽△ABC，
设△AED边ED上的高为h，
∴

ED

BC

=

h

12

，即

x

6

=

h

12

，
∴h=2x，
∴平行四边形EDCF的高为12-2x，
∴S_{平行四边形EDCF}=x（12-2x）=-2x²+12x，
则y=36-（12x-2x²）=2x²-12x+36；
（2）∵y=2x²-12x+36，a=2＞0，
∴y有最小值，即平行四边形EDCF面积有最大值，
∴当x=-

b

2a

=3时，y有最小值

4ac-b2

4a

=18，
则此时S_{平行四边形EDCF}取得最大值36-18=18．