试题

题目：
青果学院如图，在△ABC中，CD⊥AB，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为D、E、F．
（1）CA·CE与CB·CF相等吗？为什么？
（2）连接EF交CD于点O，线段OC、OD、OE、OF成比例吗？
答案
解：（1）CA·CE=CB·CF，理由为：
∵∠CED=∠CDA=90°，∠ECD=∠DCA，
∴△CED∽△CDA，
∴
CE
CD
=
CD
CA
，即CD2=CE·CA，
∵∠CFD=∠CDB=90°，∠FCD=∠DCB，
∴△CDF∽△CBD，
∴
CF
CD
=
CD
CB
，即CD2=CB·CF，
则CA·CE=CB·CF；
（2）线段OC、OD、OE、OF成比例，理由为：
∵∠CED=∠CFD=90°，
∴C，E，D，F四点共圆，
∴∠FED=∠FCD，∠DEC=∠EFC，
∴△OED∽△OCF，
∴
OC
OD
=
OE
OF
，即OC：OD=OE：OF，
则线段OC、OD、OE、OF成比例．
解：（1）CA·CE=CB·CF，理由为：
∵∠CED=∠CDA=90°，∠ECD=∠DCA，
∴△CED∽△CDA，
∴
CE
CD
=
CD
CA
，即CD2=CE·CA，
∵∠CFD=∠CDB=90°，∠FCD=∠DCB，
∴△CDF∽△CBD，
∴
CF
CD
=
CD
CB
，即CD2=CB·CF，
则CA·CE=CB·CF；
（2）线段OC、OD、OE、OF成比例，理由为：
∵∠CED=∠CFD=90°，
∴C，E，D，F四点共圆，
∴∠FED=∠FCD，∠DEC=∠EFC，
∴△OED∽△OCF，
∴
OC
OD
=
OE
OF
，即OC：OD=OE：OF，
则线段OC、OD、OE、OF成比例．
考点梳理
相似三角形的判定与性质．
（1）CA·CE=CB·CF，理由为：由一对直角相等及一对公共角相等，得到三角形CED与三角形DCA相似，由相似得比例列出关系式，同理得到三角形CDF与三角形CBD相似，由相似得比例列出关系式，等量代换即可得证；
（2）线段OC、OD、OE、OF成比例，理由为：由∠CED=∠CFD=90°，得到C，E，D，F四点共圆，利用同弧所对的圆周角相等得到两对角相等，确定出三角形OED与三角形OCF相似，由相似得比例即可得证．
此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
计算题．
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