试题

（2010·鸡西）在锐角△ABC中，∠BAC=60°，BD、CE为高，F是BC的中点，连接DE、EF、FD．则以下结论中一定正确的个数有（　　）
①EF=FD；②AD：AB=AE：AC；③△DEF是等边三角形；
④BE+CD=BC；⑤当∠ABC=45°时，BE=

2

DE．
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个

C
解：①∵BD、CE为高，∴△BEC、△BDC是直角三角形．
∵F是BC的中点，∴EF=DF=

1

2

BC．故正确；
②∵∠ADB=∠AEC=90°，∠A公共，∴△ABD∽△ACE，得AD：AB=AE：AC．故正确；
③∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°．
∵F是BC的中点，∴EF=BF，DF=CF．∴∠ABF=∠BEF，∠ACB=∠CDF．
∴∠BFE+∠CFD=120°，∠EFD=60°．又EF=FD，∴△DEF是等边三角形．故正确；
④若BE+CD=BC，则可在BC上截取BH=BE，则HC=CD．
∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°．又∵BH=BE，HC=CD，
∴∠BHE+∠CHD=120°，∠EHD=60°．
所以存在满足条件的点，假设成立，但一般情况不一定成立，故错误；
⑤当∠ABC=45°时，在Rt△BCE中，BC=

2

BE，在Rt△ABD中，AB=2AD，
由B、C、D、E四点共圆可知，△ADE∽△ABC，
∴

DE

BC

=

AD

AB

=

1

2

，即

DE

2 BE

=

1

2

，∴BE=

2

DE，故正确；
故此题选C．