试题

题目：
青果学院（2010·威海）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，第2010个正方形的面积为（　　）



答案
D
青果学院
解：设正方形的面积分别为S1，S2…S2010，
根据题意，得：AD∥BC∥C1A2∥C2B2，
∴∠BAA1=∠B1A1A2=∠B2A2x（同位角相等）．
∵∠ABA1=∠A1B1A2=90°，
∴△BAA1∽△B1A1A2，
在直角△ADO中，根据勾股定理，得：AD=
5
，
cot∠DAO=
OA
OD
=
1
2
，
∵tan∠BAA1=
BA1
AB
=cot∠DAO，
∴BA1=
1
2
AB=
5
2
，
∴CA1=
5
+
5
2
=
5
×(1+
1
2
)，
同理，得：C1A2=
5
×(1+
1
2
)×(1+
1
2
)，
由正方形的面积公式，得：S1=(
5
)2，
S2=(
5
)2×(1+
1
2
)2，S3=(
5
)2×(1+
1
2
)2×(1+
1
2
)2，
由此，可得Sn=(
5
)2×（1+
1
2
）2n-2，
∴S2010=5×（
3
2
）2×2010-2，
=5×（
3
2
）4018．
故选D
考点梳理
相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质；勾股定理；正方形的性质．
根据相似三角形的判定原理，得出△AA1B∽△A1A2B1，继而得知∠BAA1=∠B1A1A2；利用勾股定理计算出正方形的边长；最后利用正方形的面积公式计算三个正方形的面积，从中找出规律，问题也就迎刃而解了．
本题综合考查了相似三角形的判定、勾股定理、正方形的性质等知识点，另外，在解题过程中，要认真挖掘题中隐藏的规律，这样可以降低解题的难度，提高解题效率．
压轴题；规律型．
找相似题