试题

题目：
青果学院如图，已知O为坐标原点，∠AOB=30°，∠ABO=90°，且点A的坐标为（2，0）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、B、O三点，求此二次函数的解析式；
（3）结合（1）（2）及图象，直接写出使一次函数的值大于二次函数的值的x的取值范围．
答案
青果学院解：（1）∵A的坐标为（2，0），
∴OA=2，
∵∠AOB=30°，∠ABO=90°，
∴AB=1，∠BAD=60°，
过B作BD⊥x轴于D，
在Rt△ABD中，AB=1，∠BAD=60°，
∴∠ABD=30°，
∴AD=
1
2
，
∴BD=
12-(
1
2
)2
=
3
2
，
∴OD=2-
1
2
=
3
2
，
∴B点的坐标是（
3
2
，
3
2
），
设直线AB的解析式是y=ax+b，
把（2，0）（
3
2
，
3
2
）代入y=ax+b中，得
2a+b=0
3
2
a+b=
3
2
，
解得
a=-
3
b=2
3
，
∴一次函数的解析式是y=-
3
x+2
3
；
（2）把（2，0）、（
3
2
，
3
2
）、（0，0）代入二次函数y=ax2+bx+c中，得
4a+2b+c=0
9
4
a+
3
2
b+c=
3
2
c=0
，
解得
a=-
2
3
3
b=
4
3
3
c=0
，
∴二次函数解析式是y=-
2
3
3
x2+
4
3
3
x；
（3）据图观察可知当x＜
3
2
或x＞2时，一次函数的值大于二次函数的值．
青果学院解：（1）∵A的坐标为（2，0），
∴OA=2，
∵∠AOB=30°，∠ABO=90°，
∴AB=1，∠BAD=60°，
过B作BD⊥x轴于D，
在Rt△ABD中，AB=1，∠BAD=60°，
∴∠ABD=30°，
∴AD=
1
2
，
∴BD=
12-(
1
2
)2
=
3
2
，
∴OD=2-
1
2
=
3
2
，
∴B点的坐标是（
3
2
，
3
2
），
设直线AB的解析式是y=ax+b，
把（2，0）（
3
2
，
3
2
）代入y=ax+b中，得
2a+b=0
3
2
a+b=
3
2
，
解得
a=-
3
b=2
3
，
∴一次函数的解析式是y=-
3
x+2
3
；
（2）把（2，0）、（
3
2
，
3
2
）、（0，0）代入二次函数y=ax2+bx+c中，得
4a+2b+c=0
9
4
a+
3
2
b+c=
3
2
c=0
，
解得
a=-
2
3
3
b=
4
3
3
c=0
，
∴二次函数解析式是y=-
2
3
3
x2+
4
3
3
x；
（3）据图观察可知当x＜
3
2
或x＞2时，一次函数的值大于二次函数的值．
考点梳理
待定系数法求二次函数解析式；待定系数法求一次函数解析式；二次函数与不等式（组）．
（1）先过B作BD⊥x轴于D，在Rt△AOB中利用含有30°角的直角三角形的性质，易求AB，同理可求AD，结合勾股定理可求BD，从而易求点B的坐标，然后把B、A两点坐标代入一次函数解析式，易得关于ab的二元一次方程组，解可求ab，从而可得一次函数解析式；
（2）把A、B、O三点坐标代入二次函数解析式，可得关于a、b、c的三元一次方程组，解即可求a、b、c，从而可得二次函数解析式；
（3）根据图可知x的取值范围．
本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数与不等式组，解题的关键是掌握含有30°角的直角三角形的性质、勾股定理、解方程组，并会观察函数图象，比较大小．
数形结合．
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