试题

题目:
(2012·柳州)已知:抛物线y=
3
4
(x-1)2-3.
(1)写出抛物线的开口方向、对称轴;
(2)函数y有最大值还是最小值?并求出这个最大(小)值;
(3)设抛物线与y轴的交点为P,与x轴的交点为Q,求直线PQ的函数解析式.
答案
解:(1)抛物线y=
3
4
(x-1)2-3,
∵a=
3
4
>0,
∴抛物线的开口向上,
对称轴为直线x=1;

(2)∵a=
3
4
>0,
∴函数y有最小值,最小值为-3;

(3)令x=0,则y=
3
4
(0-1)2-3=-
9
4

所以,点P的坐标为(0,-
9
4
),
令y=0,则
3
4
(x-1)2-3=0,
解得x1=-1,x2=3,
所以,点Q的坐标为(-1,0)或(3,0),
当点P(0,-
9
4
),Q(-1,0)时,设直线PQ的解析式为y=kx+b(k≠0),
b=-
9
4
-k+b=0

解得
k=-
9
4
b=-
9
4

所以直线PQ的解析式为y=-
9
4
x-
9
4

当P(0,-
9
4
),Q(3,0)时,设直线PQ的解析式为y=mx+n,
n=-
9
4
3m+n=0

解得
m=
3
4
n=-
9
4

所以,直线PQ的解析式为y=
3
4
x-
9
4

综上所述,直线PQ的解析式为y=-
9
4
x-
9
4
或y=
3
4
x-
9
4

解:(1)抛物线y=
3
4
(x-1)2-3,
∵a=
3
4
>0,
∴抛物线的开口向上,
对称轴为直线x=1;

(2)∵a=
3
4
>0,
∴函数y有最小值,最小值为-3;

(3)令x=0,则y=
3
4
(0-1)2-3=-
9
4

所以,点P的坐标为(0,-
9
4
),
令y=0,则
3
4
(x-1)2-3=0,
解得x1=-1,x2=3,
所以,点Q的坐标为(-1,0)或(3,0),
当点P(0,-
9
4
),Q(-1,0)时,设直线PQ的解析式为y=kx+b(k≠0),
b=-
9
4
-k+b=0

解得
k=-
9
4
b=-
9
4

所以直线PQ的解析式为y=-
9
4
x-
9
4

当P(0,-
9
4
),Q(3,0)时,设直线PQ的解析式为y=mx+n,
n=-
9
4
3m+n=0

解得
m=
3
4
n=-
9
4

所以,直线PQ的解析式为y=
3
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x-
9
4

综上所述,直线PQ的解析式为y=-
9
4
x-
9
4
或y=
3
4
x-
9
4
考点梳理
二次函数的性质;待定系数法求一次函数解析式;二次函数的最值;抛物线与x轴的交点.
(1)根据二次函数的性质,写出开口方向与对称轴即可;
(2)根据a是正数确定有最小值,再根据函数解析式写出最小值;
(3)分别求出点P、Q的坐标,再根据待定系数法求函数解析式解答.
本题主要考查了二次函数的性质,二次函数的最值问题,待定系数法求函数解析式,以及抛物线与x轴的交点问题,是基础题,熟记二次函数的开口方向,对称轴解析式与二次函数的系数的关系是解题的关键.
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