试题

（2012·天津）若关于x的一元二次方程（x-2）（x-3）=m有实数根x₁、x₂，且x₁≠x₂，有下列结论：
①x₁=2，x₂=3；②m＞-

1

4

；③二次函数y=（x-x₁）（x-x₂）+m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．
其中，正确结论的个数是（　　）
A．0
B．1
C．2
D．3

C
解：一元二次方程（x-2）（x-3）=m化为一般形式得：x²-5x+6-m=0，
∵方程有两个不相等的实数根x₁、x₂，
∴b²-4ac=（-5）²-4（6-m）=4m+1＞0，
解得：m＞-

1

4

，故选项②正确；
∵一元二次方程实数根分别为x₁、x₂，
∴x₁+x₂=5，x₁x₂=6-m，
而选项①中x₁=2，x₂=3，只有在m=0时才能成立，故选项①错误；
二次函数y=（x-x₁）（x-x₂）+m=x²-（x₁+x₂）x+x₁x₂+m=x²-5x+（6-m）+m=x²-5x+6=（x-2）（x-3），
令y=0，可得（x-2）（x-3）=0，
解得：x=2或3，
∴抛物线与x轴的交点为（2，0）或（3，0），故选项③正确．
综上所述，正确的结论有2个：②③．
故选C．