试题

（2010·咸宁）已知二次函数y=x²+bx-c的图象与x轴两交点的坐标分别为（m，0），（-3m，0）（m≠0）．
（1）证明4c=3b²；
（2）若该函数图象的对称轴为直线x=1，试求二次函数的最小值．

（1）证明：依题意，m，-3m是一元二次方程x²+bx-c=0的两根，
根据一元二次方程根与系数的关系，得x₁+x₂=m+（-3m）=-b，x₁·x₂=m（-3m）=-c，
∴b=2m，c=3m²，
∴4c=3b²=12m²；

（2）解：依题意，-

b

2

=1，即b=-2，
由（1）得c=

3

4

b2=

3

4

×(-2)2=3，
∴y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴二次函数的最小值为-4．
（1）证明：依题意，m，-3m是一元二次方程x²+bx-c=0的两根，
根据一元二次方程根与系数的关系，得x₁+x₂=m+（-3m）=-b，x₁·x₂=m（-3m）=-c，
∴b=2m，c=3m²，
∴4c=3b²=12m²；

（2）解：依题意，-

b

2

=1，即b=-2，
由（1）得c=

3

4

b2=

3

4

×(-2)2=3，
∴y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴二次函数的最小值为-4．