试题

题目：
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当x=1时图象的最高点的纵坐标为9，且该图象与x轴的两个交点之间的距离为6，则此二次函数的解析式为
y=-（x-4）（x+2）（或y=-x2+2x+8）
y=-（x-4）（x+2）（或y=-x2+2x+8）
．
答案
y=-（x-4）（x+2）（或y=-x2+2x+8）

解：∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当x=1时图象的最高点的纵坐标为9，
∴二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点坐标为（1，9），
∴二次函数的对称轴是x=1．
又∵该图象与x轴的两个交点之间的距离为6，
∴图象与x轴的两个交点的横坐标分别是：1+3=4，1-3=-2．
故设该二次函数的解析式为y=a（x-4）（x+2）．
∴当x=1时，y=9，即9=a（1-4）（1+2），
解得，a=-1，
∴此二次函数的解析式为y=-（x-4）（x+2）（或y=-x2+2x+8）．
故答案是：y=-（x-4）（x+2）（或y=-x2+2x+8）．
考点梳理
抛物线与x轴的交点．
根据题意知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点坐标为（1，9），该图象与x轴的两个交点坐标是（-2，0）和（4，0）．
本题考查了抛物线与x轴的交点．解答该题时，也可以利用待定系数法求二次函数的解析式．
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