试题

（2013·顺义区一模）已知关于x的方程mx²-（3m+2）x+2m+2=0
（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根．
（2）若关于x的二次函数y=mx²-（3m+2）x+2m+2的图象与x轴两个交点的横坐标均为正整数，且m为整数，求抛物线的解析式．

（1）证明：
①当m=0时，方程为-2x+2=0，所以x=1，方程有实数根；
②当m≠0时，△=[-（3m+2）]²-4m（2m+2）
=9m²+12m+4-8m²-8m
=m²+4m+4
=（m+2）²≥0，
所以，方程有实数根．
综①②所述，无论m取任何实数时，方程恒有实数根；

（2）解：令y=0，则mx²-（3m+2）x+2m+2=0，
解关于x的一元二次方程，得x₁=1，x₂=2+

2

m

，
二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为正整数，且m为整数，
所以m只能取1，2，
所以抛物线的解析式为y=x²-5x+4或y=2x²-8x+6．
（1）证明：
①当m=0时，方程为-2x+2=0，所以x=1，方程有实数根；
②当m≠0时，△=[-（3m+2）]²-4m（2m+2）
=9m²+12m+4-8m²-8m
=m²+4m+4
=（m+2）²≥0，
所以，方程有实数根．
综①②所述，无论m取任何实数时，方程恒有实数根；

（2）解：令y=0，则mx²-（3m+2）x+2m+2=0，
解关于x的一元二次方程，得x₁=1，x₂=2+

2

m

，
二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为正整数，且m为整数，
所以m只能取1，2，
所以抛物线的解析式为y=x²-5x+4或y=2x²-8x+6．