试题

（2004·淮安）已知：二次函数y=x²-mx-4．
（1）求证：该函数的图象一定与x轴有两个不同的交点；
（2）设该函数的图象与x轴的交点坐标为（x₁，0）、（x₂，0），且

1

x1

+

1

x2

=-1，求m的值，并求出该函数图象的顶点坐标．

解：（1）因为△=m²+16＞0，所以一元二次方程x²-mx-4=0有两个不相等的实数根，
因而函数y=x²-mx-4的图象一定与x轴有两个不同的交点；

（2）因为该函数的图象与x轴的两个交点坐标分别为（x₁，0）、（x₂，O），
所以x₁，x₂是方程x²-mx-4=0的两个实数根，
所以x₁+x₂=m，x₁·x₂=-4．
由

1

x1

+

1

x2

=-1得

x1+x2

x1x2

=

m

-4

=-1，
因此m=4．
所以二次函数的解析式为y=x²-4x-4=（x-2）²-8，因此顶点坐标为（2，-8）．
解：（1）因为△=m²+16＞0，所以一元二次方程x²-mx-4=0有两个不相等的实数根，
因而函数y=x²-mx-4的图象一定与x轴有两个不同的交点；

（2）因为该函数的图象与x轴的两个交点坐标分别为（x₁，0）、（x₂，O），
所以x₁，x₂是方程x²-mx-4=0的两个实数根，
所以x₁+x₂=m，x₁·x₂=-4．
由

1

x1

+

1

x2

=-1得

x1+x2

x1x2

=

m

-4

=-1，
因此m=4．
所以二次函数的解析式为y=x²-4x-4=（x-2）²-8，因此顶点坐标为（2，-8）．