试题

（2008·天津）已知抛物线y=3ax²+2bx+c，
（Ⅰ）若a=b=1，c=-1，求该抛物线与x轴公共点的坐标；
（Ⅱ）若a=b=1，且当-1＜x＜1时，抛物线与x轴有公共点，求c的取值范围；
（Ⅲ）若a+b+c=0，且x₁=0时，对应的y₁＞0；x₂=1时，对应的y₂＞0，试判断当0＜x＜1时，抛物线与x轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．

解：（Ⅰ）当a=b=1，c=-1时，抛物线为y=3x²+2x-1，
方程3x²+2x-1=0的两个根为x₁=-1，x2=

1

3

．
∴该抛物线与x轴公共点的坐标是（-1，0）和（

1

3

，0）；
（Ⅱ）当a=b=1时，抛物线为y=3x²+2x+c，且与x轴有公共点．
对于方程3x²+2x+c=0，判别式△=4-12c≥0，有c≤

1

3

．（3分）
①当c=

1

3

时，由方程3x²+2x+

1

3

=0，解得x₁=x₂=-

1

3

．
此时抛物线为y=3x²+2x+

1

3

与x轴只有一个公共点（-

1

3

，0）；（4分）
②当c＜

1

3

时，x₁=-1时，y₁=3-2+c=1+c；
x₂=1时，y₂=3+2+c=5+c．
由已知-1＜x＜1时，该抛物线与x轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为x=-

1

3

，
应有

y1≤0 y2＞0

即

1+c≤0 5+c＞0

，
解得-5＜c≤-1．
综上，c=

1

3

或-5＜c≤-1．（6分）
（Ⅲ）对于二次函数y=3ax²+2bx+c，
由已知x₁=0时，y₁=c＞0；
x₂=1时，y₂=3a+2b+c＞0，
又∵a+b+c=0，
∴3a+2b+c=（a+b+c）+2a+b=2a+b．
∴2a+b＞0．
∵b=-a-c，
∴2a-a-c＞0，即a-c＞0．
∴a＞c＞0．（7分）
∵关于x的一元二次方程3ax²+2bx+c=0的判别式△=4b²-12ac=4（a+c）²-12ac=4[（a-c）²+ac]＞0，
∴抛物线y=3ax²+2bx+c与x轴有两个公共点，顶点在x轴下方．（8分）
又该抛物线的对称轴x=-

b

3a

，
由a+b+c=0，c＞0，2a+b＞0，
得-2a＜b＜-a，
∴

1

3

＜-

b

3a

＜

2

3

．
又由已知x₁=0时，y₁＞0；
x₂=1时，y₂＞0，观察图象，
可知在0＜x＜1范围内，该抛物线与x轴有两个公共点．（10分）
解：（Ⅰ）当a=b=1，c=-1时，抛物线为y=3x²+2x-1，
方程3x²+2x-1=0的两个根为x₁=-1，x2=

1

3

．
∴该抛物线与x轴公共点的坐标是（-1，0）和（

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3

，0）；
（Ⅱ）当a=b=1时，抛物线为y=3x²+2x+c，且与x轴有公共点．
对于方程3x²+2x+c=0，判别式△=4-12c≥0，有c≤

1

3

．（3分）
①当c=

1

3

时，由方程3x²+2x+

1

3

=0，解得x₁=x₂=-

1

3

．
此时抛物线为y=3x²+2x+

1

3

与x轴只有一个公共点（-

1

3

，0）；（4分）
②当c＜

1

3

时，x₁=-1时，y₁=3-2+c=1+c；
x₂=1时，y₂=3+2+c=5+c．
由已知-1＜x＜1时，该抛物线与x轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为x=-

1

3

，
应有

y1≤0 y2＞0

即

1+c≤0 5+c＞0

，
解得-5＜c≤-1．
综上，c=

1

3

或-5＜c≤-1．（6分）
（Ⅲ）对于二次函数y=3ax²+2bx+c，
由已知x₁=0时，y₁=c＞0；
x₂=1时，y₂=3a+2b+c＞0，
又∵a+b+c=0，
∴3a+2b+c=（a+b+c）+2a+b=2a+b．
∴2a+b＞0．
∵b=-a-c，
∴2a-a-c＞0，即a-c＞0．
∴a＞c＞0．（7分）
∵关于x的一元二次方程3ax²+2bx+c=0的判别式△=4b²-12ac=4（a+c）²-12ac=4[（a-c）²+ac]＞0，
∴抛物线y=3ax²+2bx+c与x轴有两个公共点，顶点在x轴下方．（8分）
又该抛物线的对称轴x=-

b

3a

，
由a+b+c=0，c＞0，2a+b＞0，
得-2a＜b＜-a，
∴

1

3

＜-

b

3a

＜

2

3

．
又由已知x₁=0时，y₁＞0；
x₂=1时，y₂＞0，观察图象，
可知在0＜x＜1范围内，该抛物线与x轴有两个公共点．（10分）