试题

题目:
已知抛物线y=x2-2x+n与x轴交于不同的两点A,B,与y轴的交点在x轴的上方,其顶点是C.
(1)求实数n的取值范围;
(2)求顶点C的坐标;
(3)求线段AB的长;
(4)当AB=
2
时,求抛物线的解析式.
答案
解:(1)令x2-2x+n=0,由题意知,方程x2-2x+n=0有两不等实根,
∴△=b2-4ac=(-2)2-4n>0
解得,n<1.
∵抛物线与y轴交点在x轴上方,
∴n>0.
∴n的取值范围是0<n<1.(2分)

(2)由顶点坐标公式xc=-
b
2a
=1,yc=
4ac-b2
4a
=n-1,
∴顶点坐标公式为C(1,n-1);(3分)

(3)由于A,B在x轴上,令x2-2x+n=0,
∵x=1±
n

∴∠ACB=90°,
∴AB=2
1-n
(4分)

(4)依题意,得2
1-n
=
2

解得,n=
1
2
(5分)
∴抛物线的解析式为:y=x2-2x+
1
2
(6分)
解:(1)令x2-2x+n=0,由题意知,方程x2-2x+n=0有两不等实根,
∴△=b2-4ac=(-2)2-4n>0
解得,n<1.
∵抛物线与y轴交点在x轴上方,
∴n>0.
∴n的取值范围是0<n<1.(2分)

(2)由顶点坐标公式xc=-
b
2a
=1,yc=
4ac-b2
4a
=n-1,
∴顶点坐标公式为C(1,n-1);(3分)

(3)由于A,B在x轴上,令x2-2x+n=0,
∵x=1±
n

∴∠ACB=90°,
∴AB=2
1-n
(4分)

(4)依题意,得2
1-n
=
2

解得,n=
1
2
(5分)
∴抛物线的解析式为:y=x2-2x+
1
2
(6分)
考点梳理
抛物线与x轴的交点.
(1)由抛物线与x轴交于不同的两点,得△>0,由与y轴的交点在x轴的上方,得n>0;
(2)直接由顶点坐标公式即得结果;
(3)用求根公式解得∠ACB=90°,即可求得线段AB的长;
(4)由线段AB的长求出n的值,即得抛物线的解析式;
解答本题要抓住题中所给的每一个条件,充分的利用这些条件,得出所要求的量.
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