试题

已知抛物线y=x²-2x+n与x轴交于不同的两点A，B，与y轴的交点在x轴的上方，其顶点是C．
（1）求实数n的取值范围；
（2）求顶点C的坐标；
（3）求线段AB的长；
（4）当AB=

2

时，求抛物线的解析式．

解：（1）令x²-2x+n=0，由题意知，方程x²-2x+n=0有两不等实根，
∴△=b²-4ac=（-2）²-4n＞0
解得，n＜1．
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴n＞0．
∴n的取值范围是0＜n＜1．（2分）

（2）由顶点坐标公式x_c=-

b

2a

=1，y_c=

4ac-b2

4a

=n-1，
∴顶点坐标公式为C（1，n-1）；（3分）

（3）由于A，B在x轴上，令x²-2x+n=0，
∵x=1±

n

，
∴∠ACB=90°，
∴AB=2

1-n

（4分）

（4）依题意，得2

1-n

=

2

解得，n=

1

2

（5分）
∴抛物线的解析式为：y=x2-2x+

1

2

（6分）
解：（1）令x²-2x+n=0，由题意知，方程x²-2x+n=0有两不等实根，
∴△=b²-4ac=（-2）²-4n＞0
解得，n＜1．
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴n＞0．
∴n的取值范围是0＜n＜1．（2分）

（2）由顶点坐标公式x_c=-

b

2a

=1，y_c=

4ac-b2

4a

=n-1，
∴顶点坐标公式为C（1，n-1）；（3分）

（3）由于A，B在x轴上，令x²-2x+n=0，
∵x=1±

n

，
∴∠ACB=90°，
∴AB=2

1-n

（4分）

（4）依题意，得2

1-n

=

2

解得，n=

1

2

（5分）
∴抛物线的解析式为：y=x2-2x+

1

2

（6分）