试题
题目:
已知抛物线y=x
2
-2x+n与x轴交于不同的两点A,B,与y轴的交点在x轴的上方,其顶点是C.
(1)求实数n的取值范围;
(2)求顶点C的坐标;
(3)求线段AB的长;
(4)当AB=
2
时,求抛物线的解析式.
答案
解:(1)令x
2
-2x+n=0,由题意知,方程x
2
-2x+n=0有两不等实根,
∴△=b
2
-4ac=(-2)
2
-4n>0
解得,n<1.
∵抛物线与y轴交点在x轴上方,
∴n>0.
∴n的取值范围是0<n<1.(2分)
(2)由顶点坐标公式x
c
=-
b
2a
=1,y
c
=
4ac-
b
2
4a
=n-1,
∴顶点坐标公式为C(1,n-1);(3分)
(3)由于A,B在x轴上,令x
2
-2x+n=0,
∵x=1±
n
,
∴∠ACB=90°,
∴AB=
2
1-n
(4分)
(4)依题意,得
2
1-n
=
2
解得,
n=
1
2
(5分)
∴抛物线的解析式为:
y=
x
2
-2x+
1
2
(6分)
解:(1)令x
2
-2x+n=0,由题意知,方程x
2
-2x+n=0有两不等实根,
∴△=b
2
-4ac=(-2)
2
-4n>0
解得,n<1.
∵抛物线与y轴交点在x轴上方,
∴n>0.
∴n的取值范围是0<n<1.(2分)
(2)由顶点坐标公式x
c
=-
b
2a
=1,y
c
=
4ac-
b
2
4a
=n-1,
∴顶点坐标公式为C(1,n-1);(3分)
(3)由于A,B在x轴上,令x
2
-2x+n=0,
∵x=1±
n
,
∴∠ACB=90°,
∴AB=
2
1-n
(4分)
(4)依题意,得
2
1-n
=
2
解得,
n=
1
2
(5分)
∴抛物线的解析式为:
y=
x
2
-2x+
1
2
(6分)
考点梳理
考点
分析
点评
抛物线与x轴的交点.
(1)由抛物线与x轴交于不同的两点,得△>0,由与y轴的交点在x轴的上方,得n>0;
(2)直接由顶点坐标公式即得结果;
(3)用求根公式解得∠ACB=90°,即可求得线段AB的长;
(4)由线段AB的长求出n的值,即得抛物线的解析式;
解答本题要抓住题中所给的每一个条件,充分的利用这些条件,得出所要求的量.
找相似题
(2013·南昌)若二次函数y=ax
2
+bx+c(a≠0)的图象与x轴有两个交点,坐标分别为(x
1
,0),(x
2
,0),且x
1
<x
2
,图象上有一点M(x
0
,y
0
)在x轴下方,则下列判断正确的是( )
(2013·大庆)已知函数y=x
2
+2x-3,当x=m时,y<0,则m的值可能是( )
(2012·镇江)若二次函数y=(x+1)(x-m)的图象的对称轴在y轴的右侧,则实数m的取值范围是( )
(2012·天津)若关于x的一元二次方程(x-2)(x-3)=m有实数根x
1
、x
2
,且x
1
≠x
2
,有下列结论:
①x
1
=2,x
2
=3;②m>-
1
4
;③二次函数y=(x-x
1
)(x-x
2
)+m的图象与x轴交点的坐标为(2,0)和(3,0).
其中,正确结论的个数是( )
(2012·泰安)二次函数y=ax
2
+bx的图象如图,若一元二次方程ax
2
+bx+m=0有实数根,则m的最大值为( )