试题

（2006·南汇区二模）设二次函数y=mx²-（2m-1）x+m-2（m＞0）
（1）求证：它的图象与x轴必有两个交点．
（2）设图象与x轴的两个交点为A（x₁，0），B（x₂，0），且（x₁-3）（x₂-3）=5m，求m的值．

证明：（1）∵△=（2m-1）²-4m（m-2）=4m+1
∵m＞0，∴4m+1＞0
即二次函数的图象与x轴必有两个交点．

解：（2）令y=0，得mx²-（2m-1）x+m-2=0，
由题意得x₁+x₂=

2m-1

m

，x₁x₂=

m-2

m

，
又（x₁-3）（x₂-3）=5m，
∴x₁x₂-3（x₁+x₂）+9=5m，
∴

m-2

m

-3

2m-1

m

+9=5m，
整理得5m²-4m-1=0，
解之得m₁=1，m₂=-

1

5

．
∵m＞0，
∴m=-

1

5

不合题意，舍去．
即所求m的值为m=1．
证明：（1）∵△=（2m-1）²-4m（m-2）=4m+1
∵m＞0，∴4m+1＞0
即二次函数的图象与x轴必有两个交点．

解：（2）令y=0，得mx²-（2m-1）x+m-2=0，
由题意得x₁+x₂=

2m-1

m

，x₁x₂=

m-2

m

，
又（x₁-3）（x₂-3）=5m，
∴x₁x₂-3（x₁+x₂）+9=5m，
∴

m-2

m

-3

2m-1

m

+9=5m，
整理得5m²-4m-1=0，
解之得m₁=1，m₂=-

1

5

．
∵m＞0，
∴m=-

1

5

不合题意，舍去．
即所求m的值为m=1．