试题

题目：
已知抛物线y=x2+ax+a-3
（1）求证：不论a取何值，抛物线与x轴总有两个交点．
（2）当a=5时，求抛物线与x轴的两个交点间的距离．
（3）直接写出a=
2
2
 时，抛物线与x轴的两个交点间的距离最小．
答案
2

解：（1）证明：∵△=a2-4（a-3）=（a-2）2+8＞0，
∴不论a取何值，抛物线与x轴总有两个交点；

（2）当a=5时，求抛物线为y=x2+5x+2，
设抛物线与x轴两交点横坐标为x1，x2，
则x1+x2=-5，x1x2=2，
∴|x1-x2|=
(x1-x2) 2
=
(x1+x2) 2-4x1x2
=
25-8
=
17
，
∴抛物线与x轴的两个交点间的距离为
17
；

（3）∵x1+x2=-a，x1x2=a-3，

∴|x1-x2|=
(x1-x2) 2
=
(x1+x2) 2-4x1x2
=
 a2-4a+12   
=
(a-2)2+8
，

∴a=2抛物线与x轴的两个交点间的距离最小，
故答案是2．
考点梳理
抛物线与x轴的交点；根的判别式；两点间的距离．
（1）求抛物线解析式的判别式，利用配方法判断△＞0即可；
（2）设抛物线与x轴两交点横坐标为x1，x2，利用两根关系求|x1-x2|的值；
（3）利用两根关系求|x1-x2|的表达式，利用非负数的性质求最小值．
本题考查了抛物线 与x轴的交点求法，根的判别式的运用，两点间的距离的求解．关键是熟悉抛物线与x轴的交点个数的判断方法，利用两根关系求两交点间的距离．
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