试题

题目：
已知方程x2+（a-3）x+3=0在实数范围内恒有解，并且恰有一个解大于1小于2，a的取值范围是
-1＜a＜-
1
2
或a=3-2
3
-1＜a＜-
1
2
或a=3-2
3
．
答案
-1＜a＜-
1
2
或a=3-2
3

解：设f（x）=x2+（a-3）x+3，问题等价于 f（x）有一个零点在（1，2）内
根据二次方程根的分布，这等价于 f（1）·f（2）＜0
即[1+（a-3）+3]·[4+（a-3）2+3]＜0，
也即（a+1）·（2a+1）＜0
解得-1＜a＜-
1
2
．
当△=0时，即b2-4ac=0，
∴（a-3）2-12=0，
∴a=2
3
+3或-2
3
+3，
∵恰有一个解大于1小于2，
∵当a=2
3
+3时，x=-
3
（舍）
∴当a=2
3
+3不合题意，
当a=3-2
3
时，x=
3
，符合题意，
故答案为：-1＜a＜-
1
2
或a=3-2
3
．
考点梳理
抛物线与x轴的交点．
在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：
（1）二次项系数不为零；
（2）在恒有解下必须满足△=b2-4ac≥0．
主要考查了二次函数的性质与一元二次方程之间的关系．这些性质和规律要求学生熟练掌握．
计算题．
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